1.2.A

Video

Gegeben

Größen:

\[\begin{split}\alpha &= 40^\circ \\ F_1 &= 6 \,\mathrm{N} \\ F_2 &= 8 \,\mathrm{N} \\\end{split}\]

a) Vektor-Komponenten

Berechnen Sie die Komponente nach rechts \(F_{1h}\) und die Komponente nach unten \(F_{1v}\) des Kraftvektors \(\boldsymbol F_1.\) Berechnen Sie diese Komponenten in \(\mathrm{N}\) (Newton) und gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01\). Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}F_{1h} &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 3{,}86 {\,\mathrm{N}}\\ F_{1v} &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 4{,}60 {\,\mathrm{N}}\end{split}\]

Lösung

b) Sinus und Kosinus

Berechnen Sie die Komponenten \(F_{2h}\) und \(F_{2v}\) abhängig von \(\beta\) und \(F_2\). Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}F_{2h}&= F_2 s_\beta \\ F_{2v}&= F_2 c_\beta\end{split}\]

Lösung

c) Winkelposition

Berechnen Sie zwei Winkel \(-180^\circ < \beta_1, \beta_2 \le 180^\circ\), sodass die Resultierende \(\boldsymbol{R} = \boldsymbol{F_1}+\boldsymbol{F_2}\) horizontal ist - sodass also:

\[F_{1v} = F_{2v}\]

Bemerkung

Die Summe der Komponenten nach oben ist in diesem Fall gleich null.
Und die Summe der Komponenten nach unten ist in diesem Fall auch gleich null.
Die Kräfte in vertikaler Richtung gleichen sich (zu null) aus.

Berechnen Sie die beiden Winkel in \(^\circ\) (Grad) und gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01\). Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}\beta_1 & \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 54{,}93^\circ \\ \beta_2 & \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} -54{,}93^\circ\end{split}\]

Lösung

\[\begin{split}F_{1v} &= F_{2v} \\ F_1 c_\alpha &= F_2 c_\beta \\ c_\beta &= \tfrac{F_1}{F_2} c_\alpha \\ c_\beta &= \tfrac{F_1}{F_2} c_\alpha \\ c_\beta &= \tfrac{3}{4} \cos 40^\circ \\ &\approx 0{,}574533332339233526402\end{split}\]

Es gibt unendlich viele Winkel \(\beta\), die diese Gleichung erfüllen. Aber davon sind nur zwei Winkel im gegebenen Intervall. Der Taschenrechner liefert den ersten Winkel hiervon als:

\[\begin{split}\beta_1 &= \arccos \tfrac{3}{4} \cos 40^\circ\\ &\approx \arccos 0{,}574533332339233526402\\ &\approx 54{,}933042277917506871^\circ\end{split}\]

Gerundet:

\[\begin{split}\beta_1 \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 54{,}93^\circ \\\end{split}\]

Und der zweite Winkel \(\beta\), für den auch gilt, dass \(c_\beta = \tfrac{3}{4} \cos 40^\circ\), ist gerundet:

\[\begin{split}\beta_2 \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} - 54{,}93^\circ \\\end{split}\]

Bokeh Plot

d) Kräfteparallelogramm

Berechnen Sie für die beiden Winkel \(\beta_1\) und \(\beta_2\) die Komponenten \(F_{2h}\) und \(F_{2v}.\) Und zwar in \(\mathrm{N}\) (Newton) und gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01\). Zeigen Sie, dass:

für \(\beta_1\):

\begin{align*} F_{2h}& \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx}6{,}55 {\,\mathrm{N}} \\ F_{2v}& \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx}4{,}60 {\,\mathrm{N}} \\ \end{align*}
für \(\beta_2\):

\begin{align*} F_{2h}& \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx}-6{,}55 {\,\mathrm{N}} \\ F_{2v}& \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx}4{,}60 {\,\mathrm{N}} \end{align*}

Und zeichnen Sie für jeden der beiden Winkel ein Kräfteparallelogramm mit:

dem Vektor \(\boldsymbol{F_1}\),
dem Vektor \(\boldsymbol{F_2}\) und
dem horizontalen Vektor der Resultierenden.

Lösung

e) Betrag der Resultierenden

Berechnen Sie für die beiden Winkel \(\beta_1\) und \(\beta_2\) den Betrag \(R_1\) bzw. \(R_2\) der Resultierenden. Und zwar in \(\mathrm{N}\) (Newton) und gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01\). Zeigen Sie, dass:

Für \(\beta = \beta_1\):

\[R_1 \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 10{,}40 {\,\mathrm{N}}\]
Für \(\beta = \beta_2\):

\[R_2 \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 2{,}69 {\,\mathrm{N}}\]

Lösung

Komponenten:

\[\begin{split}R_x &= F_{1h} + F_{2h} \\ R_y &= F_{2v} - F_{1v} = 0\end{split}\]

Betrag:

\[R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}\]

Details

Um den Betrag eines Vektors (hier: Vektor der Resultierenden) zu berechnen, geht man wie folgt vor:

Definieren eines Bezugssystems, hier: \((x,y)\)-System.
Berechnen der Komponenten des Vektors, die sich auf dieses System beziehen, hier: \((x,y)\)-Komponenten des Vektors der Resultierenden.
Berechnen des Betrags unter Verwendung dieser Komponenten, hier unter Verwendung der \((x,y)\)-Komponenten.

Für \(\beta = \beta_1\):

\[\begin{split}R_{1x} &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 10{,}40 {\,\mathrm{N}} \\ R_1 &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 10{,}40 {\,\mathrm{N}}\end{split}\]
Für \(\beta = \beta_2\):

\[\begin{split}R_{2x} &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} -2{,}69 {\,\mathrm{N}} \\ R_2 &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 2{,}69 {\,\mathrm{N}}\end{split}\]

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, acos, Matrix, evalf
from sympy import N as Approx

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# Printing:
def printout(x, unit=1, prec="nil", sub_list=[]):
    x = x.subs(sub_list)
    x /= unit
    try: 
        x = x.applyfunc(simplify)
    except:
        tmp = x.simplify()
        if tmp != None:
            x = tmp
    if prec != "nil":
        x = iso_round(x, prec)
    pprint(x)
    return

# ---

alpha  = 40 *deg
F1, F2 = 6 *N, 8 *N

beta = symbols("beta")

ca, sa = cos(alpha), sin(alpha)

pprint("\n(F1h, F1v) / N:")
F1h, F1v = F1 * sa, F1 * ca
F1_ = Matrix([F1h, F1v])
printout(F1_, unit=N, prec=2, sub_list=[])

pprint("\nEquation: cos β = cos α F₁ / F₂ has")
pprint("two solutions for β:")
tmp = ca*F1/F2
beta1 = acos(tmp)
beta2 = - beta1
for beta in [beta1, beta2]:
    pprint("\nβ / deg:")
    beta_deg= beta/deg
    tmp = beta_deg
    tmp = iso_round(tmp, 2)
    pprint(tmp)
    cb, sb = cos(beta), sin(beta)    
    pprint("\n(F2h, F2v) / N:")
    F2h, F2v = F2 * sb, F2 * cb
    F2_ = Matrix([F2h, F2v])
    printout(F2_, unit=N, prec=2)

    pprint("\nRx / N:")
    Rx = F1h + F2h
    printout(Rx, unit=N, prec=2)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.