1.2.B

Gegeben

Symbole:

\[\alpha, F\]

Größen:

\[\begin{split}\alpha &= 30^\circ \\ F &= 3 {\,\mathrm{N}}\end{split}\]

a) Blaue Komponenten

Für die gegebenen Symbole:

Geben Sie die \((\bar x, \bar y)\)-Komponenten der Kraft \(\boldsymbol F\) an, d.h.
Geben Sie die Komponenten \(F_{\bar x}\) und \(F_{\bar y}\) der Kraft an, d.h.
Geben Sie die Komponenten der Kraft an, die sich auf das das blaue System beziehen, d.h.
Geben Sie die Komponenten der Kraft in Richtung der blauen Achsen an.

\[\begin{split}\begin{bmatrix} F_{\bar x} \\ F_{\bar y} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \dots \\ \dots \end{bmatrix}\end{split}\]

Lösung

Die \((\bar x, \bar y)\)-Komponenten von \(\boldsymbol F\) sind:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} F_{\bar x} \\ F_{\bar y} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} F\\ 0 \end{bmatrix}\end{split}\]

b) Grüne Komponenten

Berechnen Sie die \((x, y)\)-Komponenten \(F_x\) und \(F_y\).

für die gegebenen Symbole und
für die gegebenen Größen und gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01\):

\[\begin{split}\begin{bmatrix} F_x \\ F_y \end{bmatrix} \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} \dots \\ \dots \end{bmatrix}\end{split}\]

Lösung

Nach Vektor: Transformation gilt:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} F_{\bar x} \\ F_{\bar y} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} F\\ 0 \end{bmatrix} = \underbrace{ \begin{bmatrix} c_\alpha & s_\alpha \\ -s_\alpha & c_\alpha \end{bmatrix} }_{R} \begin{bmatrix} F_x \\ F_y \end{bmatrix}\end{split}\]

Matrix-Multiplikation von links mit der zu \(R\) transponierten Matrix führt auf:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} c_\alpha & -s_\alpha \\ s_\alpha & c_\alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} F\\ 0 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} c_\alpha & -s_\alpha \\ s_\alpha & c_\alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_\alpha & s_\alpha \\ -s_\alpha & c_\alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} F_x \\ F_y \end{bmatrix}\end{split}\]

Und weil die Transponierte einer Drehmatrix gleich der Inversen dieser Drehmatrix ist, gilt:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} c_\alpha & -s_\alpha \\ s_\alpha & c_\alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} F\\ 0 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} F_x \\ F_y \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} c_\alpha & -s_\alpha \\ s_\alpha & c_\alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} F\\ 0 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} F_x \\ F_y \end{bmatrix}\end{split}\]

Die gesuchten \((x, y)\)-Komponenten sind darum:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} F_x \\ F_y \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} c_\alpha & -s_\alpha \\ s_\alpha & c_\alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} F\\ 0 \end{bmatrix} \\ &= F \begin{bmatrix} c_\alpha \\ s_\alpha \end{bmatrix}\end{split}\]

Einsetzen der gegebenen Größen führt auf:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} F_x \\ F_y \end{bmatrix} &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} 2{,}60 {\,\mathrm{N}} \\ 1{,}50 {\,\mathrm{N}} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 2{,}60 \\ 1{,}50 \end{bmatrix} {\,\mathrm{N}}\end{split}\]

c) Hellblaue Komponenten

Gegeben jetzt zusätzlich das Symbol \(\beta\) und die Größe \(\beta = 70^\circ\). Dies ist der Winkel, um den das hellblaue System relativ zum grünen System gedreht ist. Berechnen Sie die Komponenten \((F_{\tilde x}, F_{\tilde y})\), also die Komponenten von \(\boldsymbol F\) in Richtung der hellblauen Achsen.

für die gegebenen Symbole und
für die gegebenen Größen und gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01\).

Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} F_{\tilde x} \\ F_{\tilde y} \end{bmatrix} \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} 2{,}30\\ - 1{,}93 \end{bmatrix} \, \mathrm{N}\end{split}\]

Lösung

Mit Symbolen:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} F_{\tilde x} \\ F_{\tilde y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} c_\beta & s_\beta \\ -s_\beta & c_\beta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} F_x \\ F_y \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} c_\beta F c_\alpha + s_\beta F s_\alpha \\ c_\beta F s_\alpha - s_\beta F c_\alpha \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} c_\beta c_\alpha + s_\beta s_\alpha \\ c_\beta s_\alpha - s_\beta c_\alpha \end{bmatrix} F\end{split}\]

Mit den gegebenen Größen:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} F_{\tilde x} \\ F_{\tilde y} \end{bmatrix} \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} 2{,}30 \\ -1{,}93 \end{bmatrix} \mathrm{N}\end{split}\]

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, var, cos, sin, Matrix

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# Printing:
def printout(x, unit=1, prec="nil", sub_list=[]):
    x = x.subs(sub_list)
    x /= unit
    try: 
        x = x.applyfunc(simplify)
    except:
        tmp = x.simplify()
        if tmp != None:
            x = tmp
    if prec != "nil":
        x = iso_round(x, prec)
    pprint(x)
    return

alpha, beta = var("alpha, beta")
F = var("F")

sub_list = [
    ( F,      3 *N   ),
    ( alpha, 30 *deg ),
    ( beta,  70 *deg ),
    ]

ca, sa = cos(alpha), sin(alpha)
cb, sb = cos(beta), sin(beta)

pprint("\nGreen (Fx, Fy) / N:")
F = Matrix([F*ca, F*sa])
printout(F, unit=N, prec=2, sub_list=sub_list)

pprint("\nLight blue (Fx̃, Fỹ) / N:")
R = Matrix([[cb, sb], [-sb, cb]])
Ft = R*F
printout(Ft, unit=N, prec=2, sub_list=sub_list)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.