1.2.C

Gegeben

Symbole:

\[F_1, 0^\circ < \alpha < 90^\circ\]

Größen:

\[\begin{split}F_1 &= 10 \,\mathrm{N} \\ \alpha &= 30^\circ\end{split}\]

3 Kräfte \(F_1, F_2, F_3\) wirken an einem Teilchen.

Gleichgewicht

Berechnen Sie \(F_2\) und \(F_3\), sodass die drei Kräfte im Gleichgewicht sind.

für die gegebenen Symbolen und
für die gegebenen Größen, und in \(\mathrm{N}\) (Newton) gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01\).

Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}F_2 & \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 17{,}32 \, \mathrm{N} \\ F_3 & \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 20{,}0 \, \mathrm{N} \\\end{split}\]

Lösung

Lösung:

\[\begin{split}F_2 &= \tfrac{F_1}{\tan\alpha} \\ F_3 &= \tfrac{F_1}{\sin\alpha} \\\end{split}\]

Einsetzen der Größen liefert die Behauptung.

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Eq, solve

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# Printing:
def printout(x, unit=1, prec="nil", sub_list=[]):
    x = x.subs(sub_list)
    x /= unit
    try: 
        x = x.applyfunc(simplify)
    except:
        tmp = x.simplify()
        if tmp != None:
            x = tmp
    if prec != "nil":
        x = iso_round(x, prec)
    pprint(x)
    return

F1, alpha = symbols("F1, alpha")

sub_list=[
    ( F1,    10 *N   ),
    ( alpha, 30 *deg ),
    ]

F2, F3 = symbols("F2, F3")

ca, sa = cos(alpha), sin(alpha)

# Equilibrium Conditions = Linear System:
eq1 = Eq(F3*sa, F1)
eq2 = Eq(F3*ca, F2)

# 2 Equations, 2 Unknowns:
eqns = [eq1, eq2]
unks = [F2, F3]

# Solve for Unknowns:
sol = solve(eqns, unks)

F2, F3 = sol[F2], sol[F3]

pprint("\nF₂:")
pprint(F2)
pprint("\nF₂ / N:")
printout(F2, unit=N, prec=2, sub_list=sub_list)
pprint("\nF₃:")
pprint(F3)
pprint("\nF₃ / N:")
printout(F3, unit=N, prec=2, sub_list=sub_list)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.