1.2.F

Gegeben

Symbole:

\[F_1, F_2, \alpha_1, \alpha_2\]

Größen:

\[\begin{split}F_1 &= 6 \,\mathrm{N} \\ F_2 &= 2 \,\mathrm{N} \\ \alpha_1 &= 60^\circ \\ \alpha_2 &= 45^\circ\end{split}\]

a) Winkelpositionen der Vektoren

Die Winkel \(\varphi_1, \varphi_2, \varphi_R\) beschreiben die Winkelpositionen von \(F_1, F_2, R\) und werden gemessen:

ab der \(x\)-Achse (Nullpunkt)
positiv um die \(z\)-Achse im Sinne der Schraubenregel, also entgegen dem Uhrzeigersinn (Zählrichtung)
mit dem Definitionsbereich \(-180^\circ < \varphi_1, \varphi_2, \varphi_R \le 180^\circ\).

Ermitteln Sie die Winkel \(\varphi_1\) und \(\varphi_2\).

Hinweis

Der Winkel \(\varphi_1\) wird größer entgegen dem Uhrzeigersinn.
Der Winkel \(-\varphi_1\) wird größer im Uhrzeigersinn.
Statt \(\varphi_1\) entgegen dem Uhrzeigersinn zu messen, kann man also auch \(-\varphi_1\) im Uhrzeigersinn messen.

Lösung

Für die gegebenen Größen mit \(-180^\circ < \varphi_1, \varphi_2 \le 180^\circ\):

\[\begin{split}- \varphi_1 &= 180^\circ - \alpha_1 = 120^\circ \\ \varphi_1 &= - 120^\circ \\ \\ - \varphi_2 &= \alpha_2 = 45^\circ \\ \varphi_2 &= - 45^\circ\end{split}\]

b) Komponenten und Betrag

Verwenden Sie die Abkürzungen:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} c_1 \\ s_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\varphi_1\\ \sin\varphi_1 \end{bmatrix} \quad,\quad \begin{bmatrix} c_2 \\ s_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\varphi_2\\ \sin\varphi_2 \end{bmatrix}\end{split}\]

Berechnen Sie damit für die gegebenen Symbole:

die \((x,y)\)-Komponenten der Resultierenden:

\[\begin{split}\boldsymbol R &= \boldsymbol F_1 + \boldsymbol F_2 \\ \begin{bmatrix} R_x \\ R_y \end{bmatrix} &=\dots\end{split}\]
den Betrag \(R\) der Resultierenden:

\[\begin{split}R &= \lVert \boldsymbol R \rVert \\ &= \dots\end{split}\]

Lösung

Resultierende:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} R_x \\ R_y \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} F_{1x} \\ F_{1y} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} F_{2x} \\ F_{2y} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} F_1 c_1 \\ F_1 s_1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} F_2 c_2 \\ F_2 s_2 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} F_1 c_1 + F_2 c_2 \\ F_1 s_1 + F_2 s_2 \end{bmatrix}\end{split}\]
Betrag:

\[\begin{split}R &= \lVert \boldsymbol R \rVert \\ &= \sqrt{R_x^2 + R_y^2}\end{split}\]

c) Ergebnisse für Größen

Berechnen Sie für die gegebenen Größen - gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01\):

Kosinus und Sinus der beiden Winkel \(\varphi_1\) und \(\varphi_2\):

\[\begin{split}\begin{bmatrix} c_1 \\ s_1 \end{bmatrix} \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} \dots \\ \dots \end{bmatrix} \quad,\quad \begin{bmatrix} c_2 \\ s_2 \end{bmatrix} \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} \dots \\ \dots \end{bmatrix}\end{split}\]
die \((x,y)\)-Komponenten von \(\boldsymbol R\) gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01\). Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} R_x \\ R_y \end{bmatrix} \approx \begin{bmatrix} -1{,}59\\-6{,}61 \end{bmatrix} \,\mathrm{N}\end{split}\]
den Betrag \(R\) von \(\boldsymbol R\) gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01\). Zeigen Sie, dass:

\[R \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx}6{,}80 \,\mathrm{N}\]

Lösung

Kosinus und Sinus der Winkel:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} c_1 \\ s_1 \end{bmatrix} \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} -0{,}50 \\ -0{,}87 \end{bmatrix} \quad, \quad \begin{bmatrix} c_2 \\ s_2 \end{bmatrix} \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} 0{,}71 \\ -0{,}71 \end{bmatrix}\end{split}\]
\((x,y)\)-Komponenten von \(\boldsymbol R\):

Einsetzen von \((F_1, F_2) = ( 6 {\,\mathrm{N}}, 2 {\,\mathrm{N}} )\) liefert:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} R_x \\ R_y \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} F_1 c_1 + F_2 c_2 \\ F_1 s_1 + F_2 s_2 \end{bmatrix} \\ &\approx \begin{bmatrix} -1{,}59\\-6{,}61 \end{bmatrix} \,\mathrm{N}\end{split}\]
Betrag:

\[R \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx}6{,}80 \,\mathrm{N}\]

d) Winkelposition der Resultierenden

Für die gegebenen Größen: Berechnen Sie \(-180^\circ < \varphi_R \le 180^\circ\). Und zwar in \(^\circ\) (Grad) und gerundet auf Rundestellenwert \(1\). Zeigen Sie, dass:

\[\varphi_R \stackrel{\scriptscriptstyle{1{,}0}}{\approx}-103^\circ\]

Lösung

Wie beschrieben in M.2.A gilt:

\[\tan\varphi_R = 2\frac{R_y}{R + R_x}\]

Ausrechnen liefert:

\[\varphi_R \stackrel{\scriptscriptstyle{1{,}0}}{\approx}-103^\circ\]

Hinweis

Der hier gezeigte Lösungsweg kann für alle Kombinationen von gegebenen Größen verwendet werden, z.B.:

\[\begin{split}(F_1, F_2) &= ( 4{,}5 {\,\mathrm{N}}, 3 {\,\mathrm{N}}) \\ (\alpha_1, \alpha_2) &= ( 30^\circ, 15^\circ)\end{split}\]

mit dem Ergebnis:

\[\begin{split}R &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx}3{,}19\,\mathrm{N} \\ \varphi_R &\stackrel{\scriptscriptstyle{1{,}0}}{\approx}-108^\circ\end{split}\]

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, atan

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# Printing:
def printout(x, unit=1, prec="nil", sub_list=[]):
    x = x.subs(sub_list)
    x /= unit
    try: 
        x = x.applyfunc(simplify)
    except:
        tmp = x.simplify()
        if tmp != None:
            x = tmp
    if prec != "nil":
        x = iso_round(x, prec)
    pprint(x)
    return

# ---

# Given symbols:
F1, F2 = symbols("F1, F2", positive = True)
a1, a2 = symbols("a1, a2", positive = True)

prec = 2

sub_list=[
    ( F1, 6 *N ),
    ( F2, 2 *N ),
    ( a1,  60 *deg ),
    ( a2,  45 *deg ),
    ]

# sub_list=[
#     ( F1, half*9 *N/2 ),
#     ( F2, 3 *N ),
#     ( a1,  30 *deg ),
#     ( a2,  15 *deg ),
#     ]

p1 = pi + a1
p2 = -a2

c1, s1 = cos(p1), sin(p1)
c2, s2 = cos(p2), sin(p2)

e1 = Matrix([c1, s1])
e2 = Matrix([c2, s2])

F1 = F1 * e1
F2 = F2 * e2

R = F1 + F2

pprint("\n(Rx, Ry):")
pprint(R)
pprint("\n(Rx, Ry) / N:")
printout(R, unit=N, prec=prec, sub_list=sub_list)

pprint("\nR / N:")
Rmag = R.norm()
printout(Rmag, unit=N, prec=prec, sub_list=sub_list)

pprint("\nφʀ / deg:")
tmp = R[1] / (R.norm() + R[0])
tmp = tmp.subs(sub_list)
tmp = 2.*atan(tmp)
printout(tmp, unit=deg, prec=0, sub_list=sub_list)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.