1.2.G

Gegeben

Symbole:

\[R, \varphi_1, \varphi_2\]

Größen:

\[\begin{split}R &= 4{,}5 {\,\mathrm{N}} \\ \varphi_1 &= 45^\circ \\ \varphi_2 &= 15^\circ\end{split}\]

Die Kraft \(\boldsymbol R\) wirkt am Teilchen P.

Zerlegen Sie die Kraft \(\boldsymbol R\) in:

die Kraft \(\boldsymbol F_1\) entlang der Richtung \(\boldsymbol e_1\)
die Kraft \(\boldsymbol F_2\) entlang der Richtung \(\boldsymbol e_2\) , sodass:

\[\boldsymbol F_1 + \boldsymbol F_2 = \boldsymbol R\]

a) Vektor-Komponenten

Sei:

\(F_1\): Komponente von \(\boldsymbol F_1\) in Richtung des Einheitsvektors \(\boldsymbol e_1\), sodass \(\boldsymbol F_1 = F_1 \boldsymbol e_1\)
\(F_2\): Komponente von \(\boldsymbol F_2\) in Richtung des Einheitsvektors \(\boldsymbol e_2\), sodass \(\boldsymbol F_2 = F_2 \boldsymbol e_2\)

Die \((x,y)\)-Komponenten der Kräfte sind dann:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} F_{1x} \\ F_{1y} \end{bmatrix} &= F_{1} \begin{bmatrix} c_1 \\ s_1 \end{bmatrix} \qquad \begin{bmatrix} F_{2x} \\ F_{2y} \end{bmatrix} &= F_{2} \begin{bmatrix} c_2 \\ s_2 \end{bmatrix}\end{split}\]

mit den Abkürzungen:

\[\begin{split}c_1 &= \cos \varphi_1 \qquad c_2 &= \cos \varphi_2 \\ s_1 &= \sin \varphi_1 \qquad s_2 &= \sin \varphi_2\end{split}\]

Stellen Sie damit und aus der Bedingung, dass \(\boldsymbol F_1 + \boldsymbol F_2 = \boldsymbol R\) zwei Gleichungen für \(F_1\) und \(F_2\) auf. Und berechnen Sie dann die zwei Komponenten \(F_1\) und \(F_2\) aus diesen zwei Gleichungen. Und zwar:

für die gegebenen Symbole und
für die gegebenen Größen und gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01\).

Lösung

\[\begin{split}\begin{bmatrix} F_{1x} \\ F_{1y} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} F_{2x} \\ F_{2y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} R_{x} \\ R_{y} \end{bmatrix} \\ F_{1} \begin{bmatrix} c_1 \\ s_1 \end{bmatrix} + F_{2} \begin{bmatrix} c_2 \\ s_2 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0 \\ -R \end{bmatrix}\end{split}\]

Dies ist ein lineares Gleichungssystem für \(F_1\) und \(F_2\). Lösung:

\[\begin{split}F_1 &= \tfrac{c_2}{s_2 c_1 - s_1 c_2} R \\ F_2 &= \tfrac{-c_1}{s_2 c_1 - s_1 c_2} R\end{split}\]

Der Nenner darf nicht gleich null sein.

Lösungsweg

Die zwei Gleichungen in einer Matrix-Gleichung zusammengefasst:

\[\begin{split}\underbrace{ \begin{bmatrix} c_1 & c_2\\ s_1 & s_2 \end{bmatrix} }_A \begin{bmatrix} F_1 \\ F_2 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0 \\ -R \end{bmatrix}\end{split}\]
Berechnung der Inversen der Matrix \(A\) nach dieser Formel:

\[\begin{split}A^{-1} &= \tfrac{1}{\det A} \begin{bmatrix} s_2 & -c_2\\ -s_1 & c_1 \end{bmatrix} \\ &= \tfrac{1}{s_2 c_1 - s_1 c_2} \begin{bmatrix} s_2 & -c_2\\ -s_1 & c_1 \end{bmatrix}\end{split}\]
Lösung für \(F_1\) und \(F_2\):

\[\begin{split}\begin{bmatrix} F_1 \\ F_2 \end{bmatrix} &= A^{-1} \begin{bmatrix} 0 \\ -R \end{bmatrix} \\ &= \tfrac{1}{s_2 c_1 - s_1 c_2} \begin{bmatrix} s_2 & -c_2\\ -s_1 & c_1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ -R \end{bmatrix} \\ &= \tfrac{1}{s_2 c_1 - s_1 c_2} \begin{bmatrix} c_2\\ - c_1 \end{bmatrix} R\end{split}\]

Einsetzen der gegebenen Größen führt auf:

\begin{align*} F_1 &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx}-8{,}69 \,\mathrm{N} \\ F_2 &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 6{,}36 \,\mathrm{N} \\ \end{align*}

b) Grüne Komponenten

Berechnen Sie die \((x,y)\)-Komponenten der Kräfte , und zwar für die gegebenen Größen und gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01\). Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} F_{1x} \\ F_{1y} \end{bmatrix} &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} -6{,}15 \\ -6{,}15 \end{bmatrix} \mathrm{N} \\ \begin{bmatrix} F_{2x} \\ F_{2y} \end{bmatrix} &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} 6{,}15 \\ 1{,}65 \end{bmatrix} \mathrm{N}\end{split}\]

Lösung

\[\begin{split}\begin{bmatrix} F_{1x} \\ F_{1y} \end{bmatrix} &= F_1 \begin{bmatrix} c_1 \\ s_1 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} F_{2x} \\ F_{2y} \end{bmatrix} &= F_2 \begin{bmatrix} c_2 \\ s_2 \end{bmatrix}\end{split}\]

Einsetzen der gegebenen Größen führt auf das, was zu zeigen ist.

c) Vektor-Addition

Prüfen Sie Ihr Ergebnis zeichnerisch mit einem Kräfteparallelogramm, in das Sie \(\boldsymbol F_1\) und \(\boldsymbol F_2\) und \(\boldsymbol R\) einzeichnen.

Lösung

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Eq, solve, Matrix

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp


R, p1, p2 = symbols("R, p1, p2", real=True)

prec = 2
sub_list = [
    ( R, S(9)/2*N ) ,
    ( p1, 45 *deg  ) ,
    ( p2, 15 *deg  ) ,
    ]

# Trig:
C1, S1 = cos(p1), sin(p1)
C2, S2 = cos(p2), sin(p2)

# Shortcuts:
c1, c2, s1, s2 = symbols("c1, c2, s1, s2")
sub_list_shortcuts = [
    (C1, c1),
    (S1, s1),
    (C2, c2),
    (S2, s2),
    ]

F1, F2 = symbols("F1, F2", real=True)
unknowns = [F1, F2]

eq1 = Eq(F1*C1 + F2*C2, 0)
eq2 = Eq(F1*S1 + F2*S2, -R)

eqns = [eq1, eq2]

sol = solve(eqns, unknowns)

F1, F2 = sol[F1], sol[F2]

pprint("\nF1:")
tmp = F1
pprint(tmp.subs(sub_list_shortcuts))

pprint("\nF1 / N:")
tmp = tmp.subs(sub_list)
tmp /= N
tmp = iso_round(tmp, prec)
pprint(tmp)

pprint("\nF2:")
tmp = F2
pprint(tmp.subs(sub_list_shortcuts))

pprint("\nF2 / N:")
tmp = tmp.subs(sub_list)
tmp /= N
tmp = iso_round(tmp, prec)
pprint(tmp)

F1v = Matrix([F1*C1, F1*S1])
F2v = Matrix([F2*C2, F2*S2])

pprint("\n(F1x, F1y):")
tmp = F1v
pprint(tmp.subs(sub_list_shortcuts))

pprint("\n(F1x, F1y) / N:")
tmp = tmp.subs(sub_list)
tmp /= N
tmp = iso_round(tmp, prec)
pprint(tmp)

pprint("\n(F2x, F2y):")
tmp = F2v
pprint(tmp.subs(sub_list_shortcuts))

pprint("\n(F2x, F2y) / N:")
tmp = tmp.subs(sub_list)
tmp /= N
tmp = iso_round(tmp, prec)
pprint(tmp)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.