1.2.H

Gegeben

Symbole:

\[\varphi_1, \varphi_2, F_1, F_2, F_3\]

Größen:

\[\begin{split}\varphi_1 &= 150^\circ \\ \varphi_2 &= 60^\circ \\ F_1 &= 4 \, \mathrm{N}\\ F_2 &= 2 \, \mathrm{N}\\ F_3 &= 3 \, \mathrm{N}\end{split}\]

a) Komponenten für Symbole

Für die gegebenen Symbole: Berechnen Sie die \((x,y)\)-Komponenten von \(\boldsymbol F_1, \boldsymbol F_2\) und \(\boldsymbol F_3\):

\[\begin{split}\begin{bmatrix} F_{1x} \\ F_{1y} \end{bmatrix} = \dots \qquad \begin{bmatrix} F_{2x} \\ F_{2y} \end{bmatrix} = \dots \qquad \begin{bmatrix} F_{3x} \\ F_{3y} \end{bmatrix} = \dots\end{split}\]

Lösung

\[\begin{split}\begin{bmatrix} F_{1x} \\ F_{1y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} F_{1} \cos{\varphi_1 }\\ F_{1} \sin{\varphi_1 } \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} F_{2x} \\ F_{2y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} F_{2} \cos{\varphi_2 }\\ F_{2} \sin{\varphi_2 } \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} F_{3x} \\ F_{3y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0 \\ -F_{3} \end{bmatrix}\end{split}\]

b) Komponenten für Größen

Berechnen Sie die Komponenten für die gegebenen Größen:

ungerundet und
gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}1\).

Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} F_{1x} \\ F_{1y} \end{bmatrix} &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx} \left[\begin{matrix}-3{,}5\\2{,}0\end{matrix}\right]\mathrm{N} \\ \begin{bmatrix} F_{2x} \\ F_{2y} \end{bmatrix} &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx} \left[\begin{matrix}1{,}0\\1{,}7\end{matrix}\right]\mathrm{N} \\ \begin{bmatrix} F_{3x} \\ F_{3y} \end{bmatrix} &= \left[\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right]\mathrm{N}\end{split}\]

Lösung

\[\begin{split}\begin{bmatrix} F_{1x} \\ F_{1y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} - 2 \sqrt{3}\\ 2 \end{bmatrix} \mathrm{N} \\ \begin{bmatrix} F_{2x} \\ F_{2y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 1\\ \sqrt{3} \end{bmatrix} \mathrm{N} \\ \begin{bmatrix} F_{3x} \\ F_{3y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0\\ -3 \end{bmatrix} \mathrm{N}\end{split}\]

Runden ergibt:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} F_{1x} \\ F_{1y} \end{bmatrix} &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx} \begin{bmatrix} -3{,}5\\ 2{,}0 \end{bmatrix} \mathrm{N} \\ \begin{bmatrix} F_{2x} \\ F_{2y} \end{bmatrix} &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx} \begin{bmatrix} 1{,}0\\ 1{,}7 \end{bmatrix} \mathrm{N} \\ \begin{bmatrix} F_{3x} \\ F_{3y} \end{bmatrix} &= \left[\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right]\mathrm{N}\end{split}\]

c) Vektor-Betrag

Berechnen Sie die Beträge \(F_1 = \lVert\boldsymbol F_1 \rVert, F_2 = \lVert\boldsymbol F_2 \rVert, F_3 = \lVert\boldsymbol F_3 \rVert\) aus den \((x,y)\)-Komponenten. Zeigen Sie, dass gilt, was in der Aufgabenstellung gegeben ist, nämlich:

\[\begin{split}F_1 &= 4 \, \mathrm{N}\\ F_2 &= 2 \, \mathrm{N}\\ F_3 &= 3 \, \mathrm{N}\end{split}\]

Lösung

Das kann gezeigt werden mit den gegebenen Symbolen oder mit den gegebenen Größen:

\[\begin{split}F_1 &= \sqrt{ F_{1x}^2 + F_{1y}^2 } \\ &= \sqrt{ F_{1}^2 c_{\varphi_1}^2 + F_{1}^2 s_{\varphi_1}^2 } \\ &= F_1 \sqrt{ c_{\varphi_1}^2 + s_{\varphi_1}^2 } \\ &= F_1 \\ &= 4 \, \mathrm{N}\end{split}\]

wobei \(c_{\varphi_1}=\cos(\varphi_1)\) und \(s_{\varphi_1}=\sin(\varphi_1)\). Genauso zeigt man:

\[\begin{split}F_2 &= 2 \, \mathrm{N}\\ F_3 &= 3 \, \mathrm{N}\end{split}\]

d) Resultierende

Für die gegebenen Größen: Berechnen Sie die \((x,y)\)-Komponenten der Resultierenden \(\boldsymbol R = \boldsymbol F_1 + \boldsymbol F_2 + \boldsymbol F_3\) und auch ihren Betrag \(R=\lVert \boldsymbol R \rVert\). Runden Sie auf Rundestellenwert \(0{,}1\). Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} R_{x} \\ R_{y} \end{bmatrix} &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx} \left[\begin{matrix}-2{,}5\\0{,}7\end{matrix}\right] \mathrm{N} \\ \\ R&\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx} 2{,}6\,\mathrm{N}\end{split}\]

Lösung

\[\begin{split}\begin{bmatrix} R_{x} \\ R_{y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} F_{1} \cos{\varphi_1} + F_{2} \cos{\varphi_2}\\ F_{1} \sin{\varphi_1} + F_{2} \sin{\varphi_2} - F_{3} \end{bmatrix} \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx} \left[\begin{matrix}-2{,}5\\0{,}7\end{matrix}\right]\mathrm{N} \\ \\ R&=\sqrt{R_x^2 + R_y^2}\\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx} 2{,}6 \,\mathrm{N}\end{split}\]

e) Winkelposition

Berechnen Sie die Winkelposition \(\varphi_R\) der Resultierenden. Also den Winkel, der die Lage der Resultierenden beschreibt.

Definitionsbereich: \(-180^\circ < \varphi_R \le 180^\circ\).

Zählrichtung: Entgegen Uhrzeigersinn.

Nullpunkt: 3-Uhr-Winkelposition = Winkelposition der \(x\)-Achse.

Runden Sie auf den Rundestellenwert \(0{,}1\). Zeigen Sie, dass:

\[\varphi_R \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx}163{,}5^\circ\]

Lösung

Wie beschrieben in M.2.A gilt:

\[\varphi_R = 2 \arctan \frac{R_y}{R + R_x}\]

Ausrechnen liefert:

\[\varphi_R \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx}163{,}5^\circ\]

f) Vektor-Addition

Bestimmen Sie \(\boldsymbol R = \boldsymbol F_1 + \boldsymbol F_2 + \boldsymbol F_3\) grafisch: Verwenden Sie also grafische Vektoraddition.

Lösung

Um \(\boldsymbol R\) zu zeichnen, addiere ich die Vektoren \(\boldsymbol F_1, \boldsymbol F_2\) und \(\boldsymbol F_3\) in irgendeiner Reihenfolge:

\[\begin{split}\boldsymbol R &= \left(\boldsymbol F_1 + \boldsymbol F_2 \right) + \boldsymbol F_3 \\ &= \left(\boldsymbol F_1 + \boldsymbol F_3 \right) + \boldsymbol F_2 \\ &= \left(\boldsymbol F_2 + \boldsymbol F_3 \right) + \boldsymbol F_1\end{split}\]

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, simplify, atan

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# Printing:
def printout(x, unit=1, prec="nil", sub_list=[]):
    x = x.subs(sub_list)
    x /= unit
    try: 
        x = x.applyfunc(simplify)
    except:
        tmp = x.simplify()
        if tmp != None:
            x = tmp
    if prec != "nil":
        x = iso_round(x, prec)
    pprint(x)
    return

prec = 1

# Task-Parameter:
fac = 1
# fac = 20

p1, p2 = symbols("phi_1, phi_2", real=True)
F1n, F2n, F3n = symbols("F1, F2, F3", real=True)

sub_list = [
    ( F1n, fac*4 *N ),
    ( F2n, fac*2 *N ),
    ( F3n, fac*3 *N ),
    (  p1,   150 *deg    ),
    (  p2,    60 *deg    ),
    ]

c1, s1 = cos(p1), sin(p1)
c2, s2 = cos(p2), sin(p2)

e1 = Matrix([ c1, s1])
e2 = Matrix([ c2, s2])
e3 = Matrix([  0, -1])

F1 = F1n * e1
F2 = F2n * e2
F3 = F3n * e3

pprint("\n(x,y)-Components of (F1, F2, F3) / N:")
for F in [F1, F2, F3]:
    F = F.subs(sub_list)
    F /= N
    tmp = F
    pprint("\nExact:")
    pprint(tmp)
    pprint("Rounded:")
    pprint(iso_round(tmp,prec))

pprint("\nMagnitudes / N:")
for F in [F1, F2, F3]:
    F = F.subs(sub_list)
    F /= N
    F = F.norm()
    pprint(F)

pprint("\nR:")
R = F1 + F2 + F3
pprint(R)
pprint("\nR / N:")
tmp = R.subs(sub_list)
tmp /= N
tmp = tmp.applyfunc(simplify)
pprint("\nExact:")
pprint(tmp)

pprint("Rounded:")
tmp = iso_round(tmp,prec)
pprint(tmp)

pprint("\n|R| / N:")
Rmag = R.norm()
tmp = Rmag
tmp = tmp.subs(sub_list)
tmp /= N
pprint(iso_round(tmp,prec))

pprint("\nφʀ / deg :")
Rx, Ry = R[0], R[1]
tmp = atan(Ry/(Rmag + Rx) )
tmp *= 2
tmp = tmp.subs(sub_list)
tmp /= deg
tmp = tmp.simplify()
tmp = iso_round(tmp,prec)
pprint(tmp)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.