1.2.I

Gegeben

Größen:

\begin{align*} & & F &= 4 \,\mathrm{N}& & \\ a &= 4 \, \mathrm{m} & b &= 5 \, \mathrm{m} & c &= 6 \, \mathrm{m} \end{align*}

a) Vektor-Komponenten

Berechnen Sie die \((x,y,z)\)-Komponenten folgender vier Vektoren:

\(\boldsymbol r_P\): Ortsvektor zu P.
\(\boldsymbol r_Q\): Ortsvektor zu Q.
\(\boldsymbol d_{PO}\): Vektor von P nach O.
\(\boldsymbol d_{PQ}\): Vektor von P nach Q.

Lösung

\[\begin{split}\begin{bmatrix} r_{Px}\\ r_{Py} \\ r_{Pz} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}0\\4\\6\end{bmatrix}\mathrm{m} \\ \begin{bmatrix} r_{Qx}\\ r_{Qy} \\ r_{Qz} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}4\\5\\0\end{bmatrix}\mathrm{m} \\ \\ \boldsymbol d_{PO} &=\boldsymbol 0 - \boldsymbol r_P \\ \begin{bmatrix} d_{POx} \\ d_{POy} \\ d_{POz} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}0\\-4\\-6\end{bmatrix}\mathrm{m} \\ \boldsymbol d_{PQ} &=\boldsymbol r_Q - \boldsymbol r_P \\ \begin{bmatrix} d_{PQx} \\ d_{PQy} \\ d_{PQz} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}4\\1\\-6\end{bmatrix}\mathrm{m}\end{split}\]

b) Einheitsvektor

Berechnen Sie den Einheitsvektor \(\boldsymbol e\) entlang PO und den Einheitsvektor \(\boldsymbol f\) entlang PQ. Berechnen Sie die \((x,y,z)\)-Komponenten dieser Vektoren - gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01\):

Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} e_x \\ e_y \\ e_z \end{bmatrix} \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} 0\\ -0{,}55\\ -0{,}83 \end{bmatrix} \qquad \begin{bmatrix} f_x \\ f_y \\ f_z \end{bmatrix} \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} 0{,}55\\ 0{,}14\\ -0{,}82 \end{bmatrix}\end{split}\]

Lösung

\[\begin{split}\boldsymbol e &= \tfrac{\boldsymbol d_{PO}}{\lVert \boldsymbol d_{PO}\rVert}\\ \begin{bmatrix} e_x \\ e_y \\ e_z \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}0\\ - \tfrac{2 \sqrt{13}}{13}\\ - \tfrac{3 \sqrt{13}}{13} \end{bmatrix} \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} 0\\ -0{,}55\\ -0{,}83 \end{bmatrix} \\ \\ \boldsymbol f &= \tfrac{\boldsymbol d_{PQ}}{\lVert \boldsymbol d_{PQ}\rVert} \\ \begin{bmatrix} f_x \\ f_y \\ f_z \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \tfrac{4 \sqrt{53}}{53}\\ \tfrac{\sqrt{53}}{53}\\ - \tfrac{6\sqrt{53}}{53} \end{bmatrix} \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} 0{,}55\\ 0{,}14\\ -0{,}82 \end{bmatrix}\end{split}\]

c) Komponenten von F

Berechnen Sie die \((x,y,z)\)-Komponenten des Kraftvektors \(\boldsymbol F\). Und zwar gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01\). Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} F_x \\ F_y \\ F_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2{,}2\\0{,}55\\-3{,}3 \end{bmatrix} \mathrm{N}\end{split}\]

Lösung

\[\begin{split}\boldsymbol F &= F \boldsymbol f \\ \begin{bmatrix} F_x \\ F_y \\ F_z \end{bmatrix} &= 4\,\mathrm{N} \begin{bmatrix} \tfrac{4 \sqrt{53}}{53}\\ \tfrac{\sqrt{53}}{53}\\ - \tfrac{6\sqrt{53}}{53} \end{bmatrix} \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} 2{,}2\\0{,}55\\-3{,}3 \end{bmatrix} \mathrm{N}\end{split}\]

d) Vektorwertige Komponente

Sei \(\boldsymbol F_e\) der (vektorwertige) Anteil von \(\boldsymbol F\) in Richtung des Einheitsvektors \(\boldsymbol e\). Berechnen Sie die \((x,y,z)\)-Komponenten dieses Vektors gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01\). Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} F_{ex} \\ F_{ey} \\ F_{ez} \end{bmatrix} &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} 0\\-1{,}35\\-2{,}03 \end{bmatrix} \mathrm{N}\end{split}\]

Lösung

Die skalarwertige Komponente \(F_e\) des Vektors \(\boldsymbol F\) in die Richtung von \(\boldsymbol e\) ist (geschrieben mit Matrix-Multiplikation):

\[\begin{split}F_e &= \boldsymbol F \cdot \boldsymbol e \\ &= \begin{bmatrix} F_x & F_y & F_z \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e_x \\ e_y \\ e_z \end{bmatrix} \\ &= F_x e_x + F_y e_y + F_z e_z \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 2{,}44 \,\mathrm{N}\end{split}\]

Die vektorwertige Komponente ist:

\[\boldsymbol F_e = F_e \boldsymbol e\]

Und die \((x,y,z)\)-Komponenten dieses Vektors sind:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} F_{ex} \\ F_{ey} \\ F_{ez} \end{bmatrix} &= F_e \begin{bmatrix} e_x \\ e_y \\ e_z \end{bmatrix} \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} 0\\-1{,}35\\-2{,}03 \end{bmatrix} \mathrm{N}\end{split}\]

e) Betrag

Berechnen Sie den Betrag von \(\boldsymbol F_e\). Und zwar gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01\). Zeigen Sie, dass:

\[\lVert \boldsymbol F_e \rVert \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 2{,}44 \,\mathrm{N}\]

Lösung

\[\begin{split}\lVert \boldsymbol F_e \rVert &=\sqrt{F_{ex}^2+F_{ey}^2+F_{ez}^2} \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 2{,}44\, \mathrm{N}\end{split}\]

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# ---

F = 4 *N
a, b, c = 4*m, 5*m, 6*m

prec = 2

pprint("\nrP / m and rQ / m:")
rP = Matrix([0, a, c])
rQ = Matrix([a, b, 0])

pprint(rP/m)
pprint(rQ/m)

pprint("\ndPO / m and dPQ / m:")
dPO = -rP
dPQ = rQ - rP
pprint(dPO/m)
pprint(dPQ/m)

pprint("\n\ne, f:")
e = dPO/dPO.norm()
f = dPQ/dPQ.norm()
pprint(iso_round(e,prec))
pprint(iso_round(f,prec))

pprint("\n\nF / N:")
F = F*f
tmp = F / N
pprint(iso_round(tmp,prec))

pprint("\n\nFe / N:")
tmp = F.dot(e)
tmp = tmp / N
pprint(iso_round(tmp,prec))

pprint("\nVector Fe / N:")
Fe = F.dot(e)*e
tmp = Fe / N
pprint(iso_round(tmp,prec))

pprint("\n||Fe|| / N:")
Fe = Fe.norm()
tmp = Fe / N
pprint(iso_round(tmp,prec))

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
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