1.2.J

Gegeben

Symbole:

\[a,b,c, \,\, F, \alpha, \beta\]

Größen:

\begin{align*} a &= 4 \,\mathrm{m} & b &= 4 \,\mathrm{m} & c &= 2 \,\mathrm{m} \\ F &= 6 \,\mathrm{N} & \alpha &= 30^\circ & \beta &= 60^\circ \end{align*}

a) Komponenten von d

Für die gegebenen Symbole und für die gegebenen Größen: Berechnen Sie die \((x,y,z)\)-Komponenten des Einheitsvektors \(\boldsymbol d\):

\[\begin{split}\begin{bmatrix} d_x \\ d_y \\ d_z \end{bmatrix} = \dots\end{split}\]

Lösung

Für die gegebenen Symbole: Ein Vektor vom Ursprung zu P hat die \((x,y,z)\)-Komponenten \(\left[- a, b, c \right]\) und den Betrag \(\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}\). Der Einheitsvektor \(\boldsymbol d\) hat daher die \((x,y,z)\)-Komponenten:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} d_x \\ d_y \\ d_z \end{bmatrix} = \tfrac{1}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} \begin{bmatrix} - a\\b\\c \end{bmatrix}\end{split}\]

Für die gegebenen Größen ist:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} d_x \\ d_y \\ d_z \end{bmatrix} &= \tfrac{1}{\sqrt{(-4)^{2} + 4^{2} + 2^{2}}} \begin{bmatrix} - 4 \\4 \\2 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} - \tfrac{2}{3}\\\tfrac{2}{3}\\\tfrac{1}{3} \end{bmatrix}\end{split}\]

b) Komponenten von f

Für die gegebenen Symbole und für die gegebenen Größen: Berechnen Sie die \((x,y,z)\)-Komponenten des Einheitsvektors \(\boldsymbol f\). Runden Sie auf Rundestellenwert \(0{,}01\). Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} f_x \\ f_y \\ f_z \end{bmatrix} \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} -0{,}25\\0{,}43\\0{,}87 \end{bmatrix}\end{split}\]

Lösung

Der Einheitsvektor \(\boldsymbol f\) geht aus dem Einheitsvektor \(\boldsymbol e_y\) hervor durch die Hintereinanderschaltung zweier Aktiver Tranformationen:

\(\boldsymbol e_y \mapsto \boldsymbol e_y'\): Drehung des Einheitsvektors \(\boldsymbol e_y\) mit den Komponenten \(\left[0, 1, 0\right]\) um die \(x\)-Achse um den Winkel \(\beta\) auf \(\boldsymbol e_y'\) mit den Komponenten:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} 0 \\ c_\beta \\ s_\beta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & c_\beta & -s_\beta \\ 0 & s_\beta & c_\beta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}\end{split}\]
\(\boldsymbol e_y' \mapsto \boldsymbol f\): Verschiebung von \(\boldsymbol e_y'\) oder der gesamten grünen Rechteckfläche zu P und dann Drehung des verschobenen Vektors bzw. der gesamten Fläche um die zur \(z'\)-Achse um den Winkel \(\alpha\) auf \(\boldsymbol f\) mit den Komponenten:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} f_x \\ f_y \\ f_z \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} c_\alpha & -s_\alpha & 0 \\ s_\alpha & c_\alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ c_\beta \\ s_\beta \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -s_\alpha c_\beta \\ c_\alpha c_\beta \\ s_\beta \end{bmatrix}\end{split}\]

Für die gegebenen Größen:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} f_x \\ f_y \\ f_z \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} - \tfrac{1}{4}\\ \tfrac{\sqrt{3}}{4}\\ \tfrac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix} \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} -0{,}25\\0{,}43\\0{,}87 \end{bmatrix}\end{split}\]

c) Komponenten von F

Für die gegebenen Größen: Berechnen Sie die \((x,y,z)\)-Komponenten von \(\boldsymbol F\). Runden Sie auf Rundestellenwert \(0{,}01\). Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} F_x \\ F_y \\ F_z \end{bmatrix} \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} -1{,}50\\2{,}60\\5{,}20 \end{bmatrix} \mathrm{N}\end{split}\]

Lösung

\[\begin{split}\boldsymbol F &= F \boldsymbol f \\ \begin{bmatrix} F_x \\ F_y \\ F_z \end{bmatrix} &= F \begin{bmatrix} - \tfrac{1}{4}\\ \tfrac{\sqrt{3}}{4}\\ \tfrac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} - \tfrac{3}{2}\\\tfrac{3 \sqrt{3}}{2}\\3 \sqrt{3} \end{bmatrix} \mathrm{N} \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} -1{,}50\\2{,}60\\5{,}20 \end{bmatrix} \mathrm{N}\end{split}\]

d) Anteil in Richtung d

Sei \(F_d\) die Komponente von \(\boldsymbol F\) in Richtung \(\boldsymbol d\). Berechnen Sie \(F_d\) für die gegebenen Größen. Runden Sie auf Rundestellenwert \(0{,}01\). Zeigen Sie, dass:

\[F_d \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 4{,}46 \, \mathrm{N}\]

Sei \(\boldsymbol F_d\) der vektorwertige Anteil von \(\boldsymbol F\) in Richtung \(\boldsymbol d\). Berechnen Sie \(\boldsymbol F_d\) für die gegebenen Größen. Runden Sie auf Rundestellenwert \(0{,}01\). Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} F_{d x} \\ F_{d y} \\ F_{d z} \end{bmatrix} &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} -2{,}98\\2{,}98\\1{,}49 \end{bmatrix} \mathrm{N}\end{split}\]

Lösung

Skalarwertige Komponente:

\[\begin{split}F_d &= \boldsymbol F \cdot \boldsymbol d \\ &= \begin{bmatrix} F_x & F_y & F_z \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d_x \\ d_y \\ d_z \end{bmatrix} \\ &= F_x d_x + F_y d_y + F_z d_z \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 4{,}46\, \mathrm{N}\end{split}\]

Vektorwertiger Anteil = Vektorwertige Komponente:

\[\begin{split}\boldsymbol F_d &= F_d \boldsymbol d \\ \begin{bmatrix} F_{d x} \\ F_{d y} \\ F_{d z} \end{bmatrix} &= (F_x d_x + F_y d_y + F_z d_z) \begin{bmatrix} d_x \\ d_y \\ d_z \end{bmatrix} \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} -2{,}98\\2{,}98\\1{,}49 \end{bmatrix} \mathrm{N}\end{split}\]

e) Anteil senkrecht zu d

\(\boldsymbol F_d\) ist der vektorwertige Anteil von \(\boldsymbol F\), der parallel zu \(\boldsymbol d\) ist.
Sei \(\boldsymbol F_\perp\) der vektorwertige Anteil von \(\boldsymbol F\), der senkrecht zu \(\boldsymbol d\) ist.

Berechnen Sie die \((x,y,z)\)-Komponenten von \(\boldsymbol F_\perp\). Runden Sie auf Rundestellenwert \(0{,}01\). Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} F_{\perp x} \\ F_{\perp y} \\ F_{\perp z} \end{bmatrix} &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} 1{,}48\\-0{,}38\\3{,}71 \end{bmatrix} \mathrm{N}\end{split}\]

Lösung

\[\begin{split}\boldsymbol F_\perp &= \boldsymbol F - \boldsymbol F_d \\ \begin{bmatrix} F_{\perp x} \\ F_{\perp y} \\ F_{\perp z} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} - \tfrac{5}{6} + \tfrac{4 \sqrt{3}}{3}\\ - \tfrac{2}{3} + \tfrac{\sqrt{3}}{6}\\ - \tfrac{1}{3} + \tfrac{7 \sqrt{3}}{3} \end{bmatrix} \mathrm{N} \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} 1{,}48\\-0{,}38\\3{,}71 \end{bmatrix} \mathrm{N}\end{split}\]

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# Printing:
def printout(x, unit=1, prec="nil", sub_list=[]):
    x = x.subs(sub_list)
    x /= unit
    try: 
        x = x.applyfunc(simplify)
    except:
        tmp = x.simplify()
        if tmp != None:
            x = tmp
    if prec != "nil":
        x = iso_round(x, prec)
    pprint(x)
    return

# ---

a, b, c = symbols("a, b, c", positive=True)
F = symbols("F", positive=True)
alpha, beta = symbols("alpha, beta", positive=True)

# precision for rounding:
prec = 2

sub_list= [
    (a, 4 *m),
    (b, 4 *m),
    (c, 2 *m),
    (F, 6 *N),
    (alpha, 30 *deg),
    (beta,  60 *deg),
    ]

ca = cos(alpha)
sa = sin(alpha)
cb = cos(beta)
sb = sin(beta)

print("\nd:")
rP = Matrix([-a, b, c])
d = rP/rP.norm()
pprint(d)

print("\nf:")
f = Matrix([-sa*cb, ca*cb, sb])
printout(f, unit=1, prec=prec, sub_list=sub_list)

print("\nF / N:")
F = F*f
printout(F, unit=N, prec=prec, sub_list=sub_list)

pprint("\nFd / N:")
Fd = F.dot(d)
printout(Fd, unit=N, prec=prec, sub_list=sub_list)

print("\nFd / N:")
Fd = Fd*d
printout(Fd, unit=N, prec=prec, sub_list=sub_list)

print("\nFpe / N:")
Fpe = F-Fd
printout(Fpe, unit=N, prec=prec, sub_list=sub_list)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.