1.3.C

Gegeben

Größen:

\[\begin{split}a &= 3 \,\mathrm{m} \\ b &= 4{,}5 \,\mathrm{m} \\ c &= 2 \,\mathrm{m} \\ \\ \alpha &= 60^\circ \\ \beta &= 45^\circ \\ \gamma &= 30^\circ \\ \\ F_A &= 6 \,\mathrm{N} \\ F_B &= 2 \,\mathrm{N} \\ F_D &= 5 \,\mathrm{N}\end{split}\]

und davon abhängig \(F_C = F_A\).

a) Resultierende Kraft

Berechnen Sie die zwar die \((x,y)\)-Komponenten der Resultierenden gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01\). Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} R_x \\ R_y \end{bmatrix} \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} 3{,}54 \\ -5{,}54 \end{bmatrix} \,\mathrm{N}\end{split}\]

Lösung

Es ist \(F_C = F_A\). Und diese Kraftvektoren haben entgegengesetzte Richtung, sodass Sie sich in der Summation der Kräfte zu null ausgleichen.

\[\begin{split}\begin{bmatrix} R_x \\ R_y \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} F_D c_\beta \\ - F_D s_\beta - F_B \end{bmatrix} \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} 3{,}54 \\ -5{,}54 \end{bmatrix} \,\mathrm{N}\end{split}\]

b) Resultierendes Moment um C

Berechnen Sie das (aus allen Kräften) resultierende Moment um Punkt C. Und zwar die \(z\)-Komponente \(M_{Cz}\) des Momentvektors. Runden Sie auf Rundestellenwert \(0{,}01\). Zeigen Sie, dass:

\[M_{Cz} \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx}19{,}93 \,\mathrm{Nm}\]

Lösung

\(\boldsymbol F_A\) und \(\boldsymbol F_C\) erzeugen als Kräftepaar um jeden Punkt ein Moment \(a F_A\). Und insgesamt ist:

\[\begin{split}M_{Cz} &= a F_A + b F_B - c F_D s_\beta \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx}19{,}93 \,\mathrm{Nm}\end{split}\]

Details

Das Moment um C ist die Summe der Momente, die von der einzelnen Kräfte. Sei:

\[\boldsymbol M_C =\boldsymbol r_A \times \boldsymbol F_A + \boldsymbol r_B \times \boldsymbol F_B + \boldsymbol r_D \times \boldsymbol F_D\]

Komponenten:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} M_{Cx} \\ M_{Cy} \\ M_{Cz} \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} r_{Ax} \\ r_{Ay} \\ 0 \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} F_{Ax} \\ F_{Ay} \\ 0 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} r_{Bx} \\ r_{By} \\ 0 \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} F_{Bx} \\ F_{By} \\ 0 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} r_{Dx} \\ r_{Dy} \\ 0 \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} F_{Dx} \\ F_{Dy} \\ 0 \\ \end{bmatrix} \\ &= a \begin{bmatrix} -c_\alpha \\ s_\alpha \\ 0 \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} -s_\alpha \\ -c_\alpha \\ 0 \\ \end{bmatrix} F_A + \begin{bmatrix} - b \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 0 \\ - F_B \\ 0 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} c \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} c_\beta \\ - s_\beta \\ 0 \\ \end{bmatrix} F_D \\ &= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ a F_A \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ b F_B \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ - c F_D s_\beta\\ \end{bmatrix}\end{split}\]

Also wie schon vorher berechnet:

\[M_{Cz} = a F_A + b F_B - c F_D s_\beta\]

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import *
from sympy import *

# Units:
(mm, cm)  =  ( m/1000, m/100 )
kN        =  10**3*newton
Pa        =  newton/m**2
MPa       =  10**6*Pa
GPa       =  10**9*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# ---

prec = 2

a = 3 *m
b = (4 + half) *m
c = 2 *m

alpha = 60 *deg
beta  = 45 *deg
gamma = 30 *deg

FA = 6 *newton
FB = 2 *newton
FD = 5 *newton

FC = FA
cb, sb = cos(beta), sin(beta)

Rx = FD * cb
Ry = -FD * sb - FB

Rx = Rx.simplify()
Ry = Ry.simplify()

R = Matrix(2,1, [Rx, Ry])

pprint("\nR / N:")
tmp = R/newton
tmp = iso_round(tmp, prec)
pprint(tmp)

pprint("\nMCz / Nm:")
MCz = a*FA + b*FB - c*FD*sb
tmp = MCz
tmp /= newton*m
tmp = iso_round(tmp, prec)
pprint(tmp)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.