1.3.D

Gegeben

Symbole:

\[a, b, F\]

Größen:

\[\begin{split}a &= 5 \,\mathrm{m} \\ b &= 2 \,\mathrm{m} \\ F &= 1 \,\mathrm{N} \\\end{split}\]

Und davon abhängig:

\[\begin{split}F_h &= \tfrac45 F\\ F_v &= \tfrac35 F\end{split}\]

a) Winkelposition

Der Winkel \(\alpha\) beschreibt die Winkelposition von \(F\). Berechnen Sie \(\alpha\) gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01\). Zeigen Sie, dass

\[\alpha \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 53{,}13 ^\circ\]

Lösung

Wie beschrieben in M.2.A gilt:

\[\begin{split}\alpha &= 2 \arctan \frac{F_h}{F + F_v} \\ &= 2 \arctan \frac{4}{5 + 3} \\ &= 2 \arctan \frac{1}{2}\end{split}\]

Ausrechnen liefert:

\[\alpha \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 53{,}13 ^\circ\]

b) Vektor von A nach P

Berechnen Sie die \((x,y,z)\)-Komponenten des Vektors \(\boldsymbol r\) von A nach P:

für die gegebenen Symbole und
für die gegebenen Größen:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} r_x \\ r_y \\ r_z \end{bmatrix} = \dots\end{split}\]

Lösung

\[\begin{split}\begin{bmatrix} r_x \\ r_y \\ r_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \\ b \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} \,\mathrm{m}\end{split}\]

c) Kraftvektor

Berechnen Sie die \((x,y,z)\)-Komponenten des Kraftvektors \(\boldsymbol F\):

für die gegebenen Symbole und
für die gegebenen Größen:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} F_x \\ F_y \\ F_z \end{bmatrix} = \dots\end{split}\]

Lösung

\[\begin{split}\begin{bmatrix} F_x\\ F_y\\ F_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} F_h\\ - F_v\\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \tfrac45\\ - \tfrac35\\ 0 \end{bmatrix} \,\mathrm{N}\end{split}\]

d) Momentvektor

Berechnen Sie die \((x,y,z)\)-Komponenten des Momentvektors \(\boldsymbol M_A\) um den Punkt A aufgrund der Kraft \(\boldsymbol F\):

für die gegebenen Symbole und
für die gegebenen Größen:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} M_{Ax} \\ M_{Ay} \\ M_{Az} \end{bmatrix} &= \dots\end{split}\]

Lösung

\[\begin{split}\begin{bmatrix} M_{Ax} \\ M_{Ay} \\ M_{Az} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} r_x \\ r_y \\ r_z \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} F_x \\ F_y \\ F_z \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} r_y F_z - r_z F_y \\ r_z F_x - r_x F_z \\ r_x F_y - r_y F_x \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 0 - 0 \\ 0 - 0 \\ a (-F_v) - b F_h \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ -4{,}6 \end{bmatrix} \mathrm{Nm}\end{split}\]

Alternativ dazu liest man ab:

\[M_{Az} = - b F_h - a F_v\]

und erkennt, dass die \(x\)- und \(y\)-Komponente des Moments null sind.

e) Vektor-Betrag

Berechnen Sie den Betrag \(M_A = \lVert \boldsymbol M_A \rVert\) des Moments \(\boldsymbol M_A\). Zeigen Sie, dass:

\[M_A = 4{,}6 \, \mathrm{Nm}\]

Lösung

\[\begin{split}M_A &= \lVert \boldsymbol M_A \rVert \\ &= \sqrt{ M_{Ax}^2 + M_{Ay}^2 + M_{Az}^2 } \\ &= 4{,}6 \, \mathrm{Nm}\end{split}\]

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import *
from sympy import *

# Units:
(mm, cm)  =  ( m/1000, m/100 )
kN        =  10**3*newton
Pa        =  newton/m**2
MPa       =  10**6*Pa
GPa       =  10**9*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

def printout(x, unit=1, prec="nil", sub_list=[]):
    x = x.subs(sub_list)
    x /= unit
    try: 
        x = x.applyfunc(simplify)
    except:
        x = x.simplify()
    if prec != "nil":
        x = iso_round(x, prec)
    pprint(x)
    return

# ---

a, b = var("a, b")
F, Fh, Fv = var("F, F_h, F_v", positive=True)

sub_list=[
    (a, 5 * m),
    (b, 2 * m),
    (F, 1 * newton)
    ]

Fh, Fv = 4*F/5, 3*F/5

pprint("\nα / deg:")
tmp = 2*atan(Fh / (F + Fv) )
printout(tmp, unit=deg, prec=2, sub_list=[])

r = Matrix([a, b, 0])
pprint("\nr:")
pprint(r)

pprint("\nF / N:")
F = Matrix([Fh, -Fv, 0])
printout(F, unit=newton, prec=2, sub_list=sub_list)


pprint("\nMA / Nm:")
MA = r.cross(F)
printout(MA, unit=newton*m, prec=2, sub_list=sub_list)

pprint("\n|MA| / Nm:")
MA = MA.norm()
printout(MA, unit=newton*m, prec=2, sub_list=sub_list)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.