1.3.E

Gegeben

Symbole:

\[\beta, a, b, c, F_{1x}, F_{1y}, F_2\]

Größen:

\[\begin{split}\beta &= 60^\circ \\ a &= 0{,}25\,\mathrm{m} \\ b &= 0{,}125 \,\mathrm{m} \\ c &= 0{,}3 \,\mathrm{m} \\ F_{1x} &= 4 \,\mathrm{N} \\ F_{1y} &= 3 \,\mathrm{N} \\ F_2 &= 6 \,\mathrm{N} \\\end{split}\]

a) Kraftvektoren

Berechnen Sie die \((x,y,z)\)-Komponenten von \(\boldsymbol F_1\) und \(\boldsymbol F_2\)

für die gegebenen Symbole und
für die gegebenen Größen und gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01\):

\[\begin{split}\begin{bmatrix} F_{1x} \\ F_{1y} \\ F_{1z} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \tfrac45 F_1 \\ \dots \\ \dots \end{bmatrix} \quad,\quad \begin{bmatrix} F_{2x} \\ F_{2y} \\ F_{2z} \end{bmatrix} \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} \dots \\ \dots \\ \dots \end{bmatrix}\end{split}\]

Lösung

Komponenten von \(\boldsymbol F_1\):

\[\begin{split}\begin{bmatrix} F_{1x} \\ F_{1y} \\ F_{1z} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} F_{1x} \\ F_{1y} \\ 0 \end{bmatrix}\end{split}\]

Komponenten von \(\boldsymbol F_2\):

\[\begin{split}\begin{bmatrix} F_{2x} \\ F_{2y} \\ F_{2z} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} F_2 c_\beta \\ -F_2 s_\beta \\ 0 \end{bmatrix}\end{split}\]

Für die gegebenen Größen:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} F_{1x} \\ F_{1y} \\ F_{1z} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix} \,\mathrm{N} \\ \begin{bmatrix} F_{2x} \\ F_{2y} \\ F_{2z} \end{bmatrix} &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} 3 \\ - 5{,}2 \\ 0 \end{bmatrix} \,\mathrm{N}\end{split}\]

b) Vektor von A nach P

Berechnen Sie die \((x,y,z)\)-Komponenten des Vektors \(\boldsymbol r\) von A nach P:

für die gegebenen Symbole und
für die gegebenen Größen und gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01\):

\[\begin{split}\begin{bmatrix} r_x \\ r_y \\ r_z \end{bmatrix} = \dots\end{split}\]

Lösung

Für die gegebenen Symbole:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} r_x \\ r_y \\ r_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b + c \\ a\\ 0 \end{bmatrix}\end{split}\]

Für die gegebenen Größen:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} r_x \\ r_y \\ r_z \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}\tfrac{17}{40}\\\tfrac{1}{4}\\0\end{bmatrix} \,\mathrm{m} \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix}0{,}42\\0{,}25\\0\end{bmatrix} \,\mathrm{m}\end{split}\]

c) Momentvektor

Die Kräfte \(\boldsymbol F_1\) und \(\boldsymbol F_2\) erzeugen ein Moment \(\boldsymbol M_A\) um A.

Berechnen Sie die \((x,y,z)\)-Komponenten von \(\boldsymbol M_A\). Und zwar für die gegebenen Größen und gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01\). Verwenden Sie Vektorrechnung und das Kreuzprodukt.

\[\begin{split}\begin{bmatrix} M_{Ax} \\ M_{Ay} \\ M_{Az} \end{bmatrix} = \dots\end{split}\]

Lösung

\[\begin{split}\boldsymbol M_A &= \boldsymbol r \times \boldsymbol F_1 + \boldsymbol r \times \boldsymbol F_2 \\ &= \boldsymbol r \times \left(\boldsymbol F_1 + \boldsymbol F_2\right) \\\end{split}\]

Dies berechnen mit Komponenten liefert:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} M_{Ax} \\ M_{Ay} \\ M_{Az} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} b + c \\ a\\ 0 \end{bmatrix} \times \left\{ \begin{bmatrix} F_{1x} \\ F_{1y} \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} F_2 c_\beta \\ -F_2 s_\beta \\ 0 \end{bmatrix} \right\} \\ &= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ - a \left(F_{2} c_\beta + F_{1x}\right) + \left(b + c\right) \left(- F_{2} s_\beta + F_{1y}\right) \end{bmatrix}\end{split}\]

Einsetzen der gegebenen Größen liefert:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} M_{Ax} \\ M_{Ay} \\ M_{Az} \end{bmatrix} &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} 0 \\ 0\\ -2{,}68 \end{bmatrix} \,\mathrm{Nm}\end{split}\]

d) Moment um die z-Achse

Berechnen Sie dasselbe - aber ohne Verwendung von Vektorrechnung oder Kreuzprodukt. Runden Sie auf Rundestellenwert \(0{,}01\). Zeigen Sie, dass:

\[M_{Az} \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} -2{,}68 \,\mathrm{Nm}\]

Lösung

Weil die Kraft in der \((x,y)\)-Ebene wirkt, wird nur ein Moment um die \(z\)-Achse erzeugt:

\[\begin{split}M_{Az} &= - a (F_{1x} + F_{2x}) + (b + c) (F_{1y} + F_{2y}) \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} -2{,}68 \,\mathrm{Nm}\end{split}\]

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# Printing:
def printout(x, unit=1, prec="nil", sub_list=[]):
    x = x.subs(sub_list)
    x /= unit
    try: 
        x = x.applyfunc(simplify)
    except:
        tmp = x.simplify()
        if tmp != None:
            x = tmp
    if prec != "nil":
        x = iso_round(x, prec)
    pprint(x)
    return

# ---

beta, a, b, c = symbols("beta, a, b, c")
F1, F2 = symbols("F1, F2", positive=True)
F1x, F1y = symbols("F_{1x}, F_{1y}", positive=True)
prec = 2

sub_list=[
    (beta , 60 *deg        ),
    (a    , S(25)/100 *m   ),
    (b    , S(125)/1000 *m ),
    (c    , S(3)/10 *m     ),
    (F1x   , 4 *N     ),
    (F1y   , 3 *N     ),
    (F2   , 6 *N      ),
    ]

pprint("\nF1 / N:")
F1 = Matrix([F1x,F1y, 0])
printout(F1, unit=N, prec="nil", sub_list=sub_list)

pprint("\nF2 / N:")
F2x = F2*cos(beta)
F2y = -F2*sin(beta)
F2 = Matrix([F2x,F2y, 0])
printout(F2, unit=N, prec=prec, sub_list=sub_list)

pprint("\nr / m:")
r = Matrix([b+c, a, 0])
printout(r, unit=m, prec=prec, sub_list=sub_list)

pprint("\nMA / Nm:")
F = F1 + F2
MA = r.cross(F)
printout(MA, unit=N*m, prec=prec, sub_list=sub_list)

pprint("\nMAz / Nm:")
MAz = - a*(F1x + F2x) + (b + c)*(F1y + F2y)
printout(MAz, unit=N*m, prec=prec, sub_list=sub_list)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.