1.3.F

Gegeben

Symbole:

\[a, b, c, F_x, F_y, F_z\]

Größen:

\[\begin{split}\begin{matrix} a=0{,}3 \,\mathrm{m} \\ b=0{,}4 \,\mathrm{m} \\ c=0{,}2 \,\mathrm{m} \end{matrix} \qquad \begin{bmatrix} F_x\\F_y\\F_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3\\-2\\\tfrac{3}{2} \end{bmatrix} \,\mathrm{N}\end{split}\]

Berechnen Sie das Moment um A - erzeugt von der Kraft \(\boldsymbol F\) bei P. Gehen Sie wie folgt vor:

a) Vektor von A nach P

Sei \(\boldsymbol r\) der Vektor von Bezugspunkt A nach P. Berechnen Sie die \((x,y,z)\)-Komponenten von \(\boldsymbol r\) für die gegebenen Größen:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} r_x \\ r_y \\ r_z \end{bmatrix} = \ldots\end{split}\]

Lösung

\[\begin{split}\begin{bmatrix} r_x \\ r_y \\ r_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a\\b\\-c\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0{,}3\\0{,}4\\-0{,}2\end{bmatrix} \,\mathrm{m}\end{split}\]

b) Momentvektor

Berechnen Sie die \((x,y,z)\)-Komponenten des Momentvektors \(\boldsymbol M_A\) bezüglich A - erzeugt durch die Kraft \(\boldsymbol F\) für die gegebenen Größen. Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} M_{Ax} \\ M_{Ay} \\ M_{Az} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \tfrac{1}{5} \\ - \tfrac{21}{20} \\ - \tfrac{9}{5} \end{bmatrix} \mathrm{Nm}\end{split}\]

Lösung

\[\begin{split}\boldsymbol M_A &= \boldsymbol r \times \boldsymbol F \\ \begin{bmatrix} M_{Ax} \\ M_{Ay} \\ M_{Az} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} r_x \\ r_y \\ r_z \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} F_x \\ F_y \\ F_z \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} a \\ b \\ -c \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} F_x \\ F_y \\ F_z \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} b F_{z} + c F_{y} \\ -c F_{x} - a F_{z} \\ a F_{y} - b F_{x} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \tfrac{1}{5} \\ - \tfrac{21}{20} \\ - \tfrac{9}{5} \end{bmatrix} \mathrm{Nm}\end{split}\]

c) Einheitsvektor

Berechnen Sie die \((x,y,z)\)-Komponenten des Einheitsvektors \(\boldsymbol d\) für die gegebenen Größen.

\[\begin{split}\begin{bmatrix} d_x \\ d_y \\ d_z \end{bmatrix} = \dots\end{split}\]

Lösung

Vektor von A nach Q:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} d_{AQx} \\ d_{AQy} \\ d_{AQz} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \\ b \\ 0 \end{bmatrix}\end{split}\]

Einheitsvektor in dieser Richtung:

\[\boldsymbol d = \tfrac{\boldsymbol d_{AQ}}{\lVert \boldsymbol d_{AQ} \rVert}\]

Für die gegebenen Größen:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} d_x \\ d_y \\ d_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\tfrac{3}{5}\\\tfrac{4}{5}\\0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0{,}6\\0{,}8\\0\end{bmatrix}\end{split}\]

d) Moment um eine Achse

Jede Komponente des Momentvektors \(\boldsymbol M_A\) beschreibt den Anteil des Vektors in eine bestimmte Richtung bzw. um eine bestimmte Achse:

\(M_{Ax}\) ist der Anteil in \(x\)-Richtung - also das Moment um eine Parallele zur \(x\)-Achse durch A.
\(M_{Ay}\) ist der Anteil in \(y\)-Richtung - also das Moment um eine Parallele zur \(y\)-Achse durch A.
\(M_{Az}\) ist der Anteil in \(z\)-Richtung - also das Moment um eine Parallele zur \(z\)-Achse durch A.

Berechnen Sie \(M_{Ad}\), den Anteil von \(\boldsymbol M_A\) in \(d\)-Richtung - also das Moment um eine Parallele zur \(d\)-Achse in A. Zeigen Sie, dass:

\[M_{Ad} = -0{,}72 \,\mathrm{Nm}\]

Lösung

\[\begin{split}M_{Ad} &= \boldsymbol M_A \cdot \boldsymbol d \\ &= \begin{bmatrix} M_{Ax} & M_{Ay} & M_{Az} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d_x \\ d_y \\ d_z \end{bmatrix} \\ &= - \tfrac{18}{25} \,\mathrm{Nm} \\ &= -0{,}72 \,\mathrm{Nm}\end{split}\]

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# Printing:
def printout(x, unit=1, prec="nil", sub_list=[]):
    x = x.subs(sub_list)
    x /= unit
    try: 
        x = x.applyfunc(simplify)
    except:
        tmp = x.simplify()
        if tmp != None:
            x = tmp
    if prec != "nil":
        x = iso_round(x, prec)
    pprint(x)
    return
# ---

a, b, c = symbols("a, b, c", positive=True)
Fx, Fy, Fz = symbols("Fx, Fy, Fz")

prec = 2

sub_list=[
    (a, 3*m/10),
    (b, 4*m/10),
    (c, 2*m/10),
    (Fx,3*N),
    (Fy,-2*N),
    (Fz, 3*N/2),
    ]

pprint("\n(rx, ry, rz):")
r = Matrix([a,b,-c])
printout(r, unit=1, prec="nil", sub_list=[])

pprint("\n(rx, ry, rz) / m:")
printout(r, unit=m, prec="nil", sub_list=sub_list)

pprint("\n(MAx, MAy, MAz):")
F = Matrix([Fx,Fy,Fz])
MA = r.cross(F)
printout(MA, unit=1, prec="nil", sub_list=[])

pprint("\n(MAx, MAy, MAz) / (Nm):")
printout(MA, unit=N*m, prec="nil", sub_list=sub_list)

pprint("\nUnit vector d:")
dAQ = Matrix([a,b,0])
d = dAQ/dAQ.norm()
printout(d, unit=1, prec="nil", sub_list=[])

pprint("\nd:")
printout(d, unit=1, prec="nil", sub_list=sub_list)

pprint("\nMAd:")
MAd = MA.dot(d)
printout(MAd, unit=1, prec="nil", sub_list=[])

pprint("\nMAd / (Nm):")
printout(MAd, unit=N*m, prec=prec, sub_list=sub_list)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.