1.3.G

Gegeben

Symbole:

\[0^\circ<\alpha<90^\circ, \tan \alpha = \tfrac43, a, b, c, F>0\]

Gegebene Größen:

\[\begin{split}a &= 2 \,\mathrm{m} \\ b &= 2 \,\mathrm{m} \\ c &= 3 \,\mathrm{m} \\ F &= 5 \,\mathrm{N} \\ \tan \alpha &= \tfrac43\end{split}\]

Berechnen Sie das Moment bezüglich A - erzeugt durch die Kraft \(\boldsymbol F\) bei P. Gehen Sie wie folgt vor.

a) Vektor von A nach P

Sei \(\boldsymbol r\) der Vektor von A nach P. Berechnen Sie dessen \((x,y,z)\)-Komponenten:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} r_x \\ r_y \\ r_z \end{bmatrix} = \dots\end{split}\]

Und zwar:

für die gegebenen Symbole und dann
für die gegebenen Größen.

Lösung

\[\begin{split}\begin{bmatrix} r_x \\ r_y \\ r_z \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}-a\\b\\c\end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix}-2\\2\\3\end{bmatrix} \,\mathrm{m}\end{split}\]

b) Komponenten von F

Sei:

\(F_z\): Die Komponente von \(\boldsymbol F\) in Richtung \(z\).
\(F_\perp\): Die Komponente von \(\boldsymbol F\) senkrecht zu \(z\).
\(F_x, F_y\): Die Komponenten von \(F_\perp\) in Richtung \(x\) bzw. \(y\).

Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} F_x \\ F_y \\ F_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\tfrac{12}{25}\\ \tfrac{16}{25}\\ \tfrac{3}{5} \end{bmatrix} F\end{split}\]

Verwenden Sie die gegebenen Größen und runden Sie auf Rundestellenwert \(0{,}1\). Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} F_x \\ F_y \\ F_z \end{bmatrix} \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx} \begin{bmatrix} -2{,}4 \\ 3{,}2 \\ 3{,}0 \end{bmatrix} \,\mathrm{N}\end{split}\]

Lösung

Wegen \(0^\circ<\alpha<90^\circ\) und \(\tan \alpha = \tfrac43\) und \(3^2 + 4^2 = 5^2\) gilt:

\[\begin{split}\cos\alpha &= c_\alpha = \tfrac 3 5 \\ \sin\alpha &= s_\alpha = \tfrac 4 5\end{split}\]

sodass:

\[\begin{split}F_z &= F c_\alpha \\ &= \tfrac35 F \\ F_\perp &= F s_\alpha \\ &= \tfrac45 F\end{split}\]

Zerlegung von \(F_\perp\) in eine Komponente in \(x\)-Richtung und eine Komponente in \(y\)-Richtung führt auf:

\[\begin{split}- F_x & = F_\perp c_\alpha \\ &= \tfrac35 F_\perp \\ &= \tfrac35 \tfrac45 F \\ F_y & = F_\perp s_\alpha \\ &= \tfrac45 F_\perp \\ &= \tfrac45 \tfrac45 F \\\end{split}\]

Ergebnis:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} F_x \\ F_y \\ F_z \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} -\tfrac{12}{25}\\ \tfrac{16}{25}\\ \tfrac{3}{5}\end{bmatrix} F \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx} \begin{bmatrix} -2{,}4\\3{,}2\\3{,}0 \end{bmatrix} \,\mathrm{N}\end{split}\]

c) Moment der Kraft F

Berechnen Sie das Moment \(\boldsymbol M_A\) um A - erzeugt durch die Kraft \(\boldsymbol F\). Berechnen Sie die Komponenten dieses Moments - gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}1\). Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} M_{Ax} \\ M_{Ay} \\ M_{Az} \end{bmatrix} &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx} \begin{bmatrix} -3{,}6\\ -1{,}2\\ -1{,}6 \end{bmatrix} \,\mathrm{Nm}\end{split}\]

Lösung

\[\begin{split}\begin{bmatrix} M_{Ax} \\ M_{Ay} \\ M_{Az} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \tfrac{3 b}{5} - \tfrac{16 c}{25}\\ \tfrac{3 a}{5} - \tfrac{12 c}{25}\\ - \tfrac{16 a}{25} + \tfrac{12 b}{25} \end{bmatrix} F \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx} \begin{bmatrix} -3{,}6\\ -1{,}2\\ -1{,}6 \end{bmatrix} \,\mathrm{Nm}\end{split}\]

d) Betrag des Momentvektors

Berechnen Sie den Betrag \(M_A\) des Moments - gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}1\). Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}M_A &= \lVert \boldsymbol M_A \rVert \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx} 4{,}1 \,\mathrm{Nm}\end{split}\]

Lösung

\[\begin{split}\lVert \boldsymbol M_A \rVert &= \sqrt{ M_{Ax}^2 + M_{Ay}^2 + M_{Az}^2 } \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx} 4{,}1 \,\mathrm{Nm}\end{split}\]

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# Printing:
def printout(x, unit=1, prec="nil", sub_list=[]):
    x = x.subs(sub_list)
    x /= unit
    try: 
        x = x.applyfunc(simplify)
    except:
        tmp = x.simplify()
        if tmp != None:
            x = tmp
    if prec != "nil":
        x = iso_round(x, prec)
    pprint(x)
    return

# ---

a, b, c, F = symbols("a, b, c, F", positive=True)

prec = 1

sub_list=[
    (a, 2*m),
    (b, 2*m),
    (c, 3*m),
    (F, 5*N),
    ]

pprint("\nr / m:")
r = Matrix([-a,b,c])
printout(r, unit=m, prec="nil", sub_list=sub_list)

Fpara = S(3)/5 * F
Fperp = S(4)/5 * F

Fx = -S(3)/5 * Fperp
Fy = S(4)/5 * Fperp
Fz = Fpara

pprint("\n(Fx, Fy, Fz) / N:")
Fv = Matrix([Fx,Fy,Fz])
printout(Fv, unit=N, prec=prec, sub_list=sub_list)

pprint("\nMA / Nm:")
MA = r.cross(Fv)
printout(MA, unit=N*m, prec=prec, sub_list=sub_list)

pprint("\n|MA| / Nm:")
printout(MA.norm(), unit=N*m, prec=prec, sub_list=sub_list)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.