1.3.H

Gegeben

Symbole:

\[a, F, G\]

Berechnen Sie die unbekannten Lagerreaktionen \(A_x, A_y, A_z, B_x, B_y, C_y\). Gehen Sie wie folgt vor:

a) Ortsvektoren

Berechnen Sie die Komponenten der Ortsvektoren zu den Punkten A, B, C, F und G. Also z.B. für Punkt F:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} r_{Fx}\\ r_{Fy}\\ r_{Fz} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \dots\\ \dots\\ \dots \end{bmatrix}\end{split}\]

Lösung

\begin{align*} \begin{bmatrix} r_{Ax}\\ r_{Ay}\\ r_{Az} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}- a\\0\\0\end{bmatrix} & \begin{bmatrix} r_{Bx}\\ r_{By}\\ r_{Bz} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}0\\0\\2 a\end{bmatrix} & \begin{bmatrix} r_{Cx}\\ r_{Cy}\\ r_{Cz} \end{bmatrix} &=\begin{bmatrix}- a\\0\\2 a\end{bmatrix} \end{align*}

\begin{align*} \begin{bmatrix} r_{Fx}\\ r_{Fy}\\ r_{Fz} \end{bmatrix} &=\begin{bmatrix}- a\\0\\a\end{bmatrix} & \begin{bmatrix} r_{Gx}\\ r_{Gy}\\ r_{Gz} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}0\\0\\a\end{bmatrix} \end{align*}

b) Kraftvektoren

Die Kräfte, die an diesen Punkten wirken, seien genannt \(\boldsymbol F_A, \boldsymbol F_B, \boldsymbol F_C, \boldsymbol F_F, \boldsymbol F_G.\) Geben Sie die Komponenten dieser Kräfte an. Für die Kraft bei F gilt z.B.:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} F_{Fx}\\ F_{Fy}\\ F_{Fz} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \dots\\ \dots\\ \dots \end{bmatrix}\end{split}\]

Lösung

\begin{align*} \begin{bmatrix} F_{Ax}\\ F_{Ay}\\ F_{Az} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} A_x\\A_y\\A_z\end{bmatrix} & \begin{bmatrix} F_{Bx}\\ F_{By}\\ F_{Bz} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} B_x\\B_y\\0\end{bmatrix} & \begin{bmatrix} F_{Cx}\\ F_{Cy}\\ F_{Cz} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0\\C_y\\0\end{bmatrix} \end{align*}

\begin{align*} \begin{bmatrix} F_{Fx}\\ F_{Fy}\\ F_{Fz} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} F\\0\\0\end{bmatrix} & \begin{bmatrix} F_{Gx}\\ F_{Gy}\\ F_{Gz} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0 \\G\\0\end{bmatrix} \end{align*}

c) Momente um O

Berechnen Sie die Komponenten der Momente um den Punkt O, welche durch diese Kräfte erzeugt werden. Also z.B. für das durch die Kraft bei A erzeugte Moment:

\[\begin{split}\boldsymbol M_A &= \boldsymbol r_A \times \boldsymbol F_A \\ \begin{bmatrix} M_{Ax}\\ M_{Ay}\\ M_{Az} \end{bmatrix} &= \ldots\end{split}\]

Lösung

Komponenten des Moments \(\boldsymbol M_A\) aufgrund der Kräfte bei A:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} M_{Ax}\\ M_{Ay}\\ M_{Az} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} r_{Ay} F_{Az} -r_{Az} F_{Ay} \\ r_{Az} F_{Ax} -r_{Ax} F_{Az} \\ r_{Ax} F_{Ay} -r_{Ay} F_{Ax} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 0 - 0\\ 0 + a A_z \\ -a A_y - 0 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 0\\ a A_z \\ -a A_y \end{bmatrix}\end{split}\]

Ebenso berechnet man:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} M_{Bx}\\ M_{By}\\ M_{Bz} \end{bmatrix} &= \left[\begin{matrix}- 2 B_{y} a\\2 B_{x} a\\0\end{matrix}\right] \\ \begin{bmatrix} M_{Cx}\\ M_{Cy}\\ M_{Cz} \end{bmatrix} &= \left[\begin{matrix}- 2 C_{y} a\\0\\- C_{y} a\end{matrix}\right] \\ \begin{bmatrix} M_{Fx}\\ M_{Fy}\\ M_{Fz} \end{bmatrix} &= \left[\begin{matrix}0\\F a\\0\end{matrix}\right] \\ \begin{bmatrix} M_{Gx}\\ M_{Gy}\\ M_{Gz} \end{bmatrix} &= \left[\begin{matrix}- G a\\0\\0\end{matrix}\right]\end{split}\]

d) Lagerreaktionen

Berechnen Sie die \(A_x, A_y, A_z, B_x, B_y, C_y\) durch Auswertung der Gleichgewichtsbedingungen.

Lösung

6 Unbekannte: \(A_x, A_y, A_z, B_x, B_y, C_y\)

Gleichgewichtsbedingungen:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} &=\left[\begin{matrix}A_{x} + B_{x} + F\\A_{y} + B_{y} + C_{y} + G\\A_{z}\end{matrix}\right] \\ \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} &= \left[\begin{matrix}- 2 B_{y} a - 2 C_{y} a - G a\\A_{z} a + 2 B_{x} a + F a\\- A_{y} a - C_{y} a\end{matrix}\right]\end{split}\]

Lösung des Linearen Gleichungssystems, siehe Lin. Gleichungssystem:

\[\begin{split}A_{x} &= - \tfrac{F}{2} \\ A_{y} &= - \tfrac{G}{2} \\ A_{z} &= 0 \\ B_{x} &= - \tfrac{F}{2} \\ B_{y} &= - G \\ C_{y} &= \tfrac{G}{2}\end{split}\]

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy import *

a, F, G = symbols("a, F, G")

# Unknowns:
Ax, Ay, Az, Bx, By, Cy = symbols("Ax, Ay, Az, Bx, By, Cy")

rA = Matrix([ -a, 0,   0 ])
rB = Matrix([  0, 0, 2*a ])
rC = Matrix([ -a, 0, 2*a ])
rF = Matrix([ -a, 0,   a ])
rG = Matrix([  0, 0,   a ])

FA = Matrix([ Ax, Ay, Az ])
FB = Matrix([ Bx, By, 0  ])
FC = Matrix([  0, Cy, 0  ])
FF = Matrix([  F,  0, 0 ])
FG = Matrix([  0,  G, 0 ])

MA = rA.cross(FA)
MB = rB.cross(FB)
MC = rC.cross(FC)
MF = rF.cross(FF)
MG = rG.cross(FG)

sum_F = FA + FB + FC + FF + FG
sum_M = MA + MB + MC + MF + MG

Zero = Matrix([ 0, 0, 0 ])

eq_F = Eq(Zero, sum_F)
eq_M = Eq(Zero, sum_M)

eqns = [eq_F, eq_M]
unks = [Ax, Ay, Az, Bx, By, Cy]
sol=solve(eqns, unks)

pprint("\nSupport Reactions:")
for s in sol:
    pprint("\n")
    pprint(str(s)+":")
    tmp = sol[s]
    pprint(tmp)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.