1.4.1.A

Gegeben

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Größen:

\[\begin{split}m_1 = 3\,\mathrm{kg} \qquad,&\qquad \begin{bmatrix} x_1\\ y_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 3 \end{bmatrix} \mathrm{m} \\ m_2 = 3\,\mathrm{kg} \qquad,&\qquad \begin{bmatrix} x_2\\ y_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6\\ 3 \end{bmatrix} \mathrm{m}\end{split}\]

Dies sind die Massen und die Koordinaten der Punktmassen.

a) Schwerpunkt-Koordinaten

Berechnen Sie die Koordinaten des Schwerpunkts S. Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} x_S\\ y_S \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \,\mathrm{m}\\ 3 \,\mathrm{m} \end{bmatrix}\end{split}\]

Lösung

\[\begin{split}x_S &= \tfrac{x_1 m_1+x_2 m_2}{m_1+m_2}\\ &= \tfrac{0 \,\mathrm{m}\cdot 3\,\mathrm{kg}+6 \,\mathrm{m} \cdot 3\,\mathrm{kg}}{6 \,\mathrm{kg}}\\ &= \tfrac{6 \cdot 3 \,\mathrm{m} \,\mathrm{kg}}{6\,\mathrm{kg}}\\ &= 3 \,\mathrm{m}\\ \\ y_S &= \tfrac{y_1 m_1+y_2 m_2}{m_1+m_2}\\ &= \tfrac{3 \,\mathrm{m}\cdot 3\,\mathrm{kg}+3 \,\mathrm{m} \cdot 3\,\mathrm{kg}}{6\,\mathrm{kg}}\\ &= 3 \,\mathrm{m}\\\end{split}\]

b) Abhängigkeit von α

Seien jetzt die Massen \(m_1\) und \(m_2\) nicht mehr als Größen gegeben, sondern nur noch als Symbole. Sei außerdem ab jetzt gegeben die Gesamtmasse \(m = m_1 + m_2\) und der Anteil von \(m_2\) an der Gesamtmasse:

\[\alpha = \tfrac{m_2}{m}\]

Für \(m_1\) bzw. \(m_2\) folgt daraus:

\[\begin{split}m_2 &= \alpha m \\ m_1 &= (1-\alpha)m\end{split}\]

Berechnen Sie die Schwerpunkt-Position abhängig von \(\alpha\). Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} x_S\\ y_S \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1\\ y_1 \end{bmatrix} + \alpha \begin{bmatrix} x_2- x_1 \\ y_2- y_1 \end{bmatrix}\end{split}\]

Lösung

\[\begin{split}x_S &= \tfrac{x_1 m_1 + x_2 m_2}{m_1 + m_2} \\ &= \tfrac{x_1 m_1}{m_1 + m_2} + \tfrac{x_2 m_2}{m_1 + m_2} \\ &= \tfrac{x_1 m_1}{m} + \tfrac{x_2 m_2}{m} \\ &= (1 - \alpha)x_1 + \alpha x_2 \\ x_S &= x_1 +\alpha (x_2- x_1)\end{split}\]

Ebenso gilt:

\[\begin{split}y_S = y_1+\alpha (y_2- y_1)\\\end{split}\]

Zusammengefasst mit Matrizen:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} x_S \\ y_S \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} x_1 + \alpha (x_2- x_1) \\ y_1 + \alpha (y_2- y_1) \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} x_1\\ y_1 \end{bmatrix} + \alpha \begin{bmatrix} x_2- x_1 \\ y_2- y_1 \end{bmatrix}\end{split}\]

Spezialfälle

  • \(\alpha=0\): Schwerpunkt bei \(m_1.\)

  • \(\alpha=1\): Schwerpunkt bei \(m_2.\)

  • \(\alpha=\tfrac 1 2\): Schwerpunkt in der Mitte zwischen \(m_1\) und \(m_2.\)