1.4.1.B

Gegeben

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Symbole:

\[m_A, m_B, x_A, y_A, x_B, y_B\]

  • \(m_A\) und \(m_B\) sind die Massen der Punktmassen.

  • \((x_A, y_A)\) und \((x_B, y_B)\) sind die Koordinaten (der Positionen) der Punktmassen.

Größen:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} x_A\\ y_A \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 1\\ 6 \end{bmatrix} \, \mathrm{m} \\ \begin{bmatrix} x_B\\ y_B \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 4\\ 3 \end{bmatrix} \, \mathrm{m}\end{split}\]

a) Fall 1

Sei \(m_A = 2 m_B\), d.h. sei die Masse \(m_A\) doppelt so groß wie die Masse \(m_B\). Berechnen Sie hierfür die \((x,y)\)-Koordinaten des Gesamtschwerpunkts. Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} x_S\\ y_S \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \end{bmatrix} \,\mathrm{m}\end{split}\]

Lösung

\[\begin{split}\begin{bmatrix} x_S\\ y_S \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \tfrac{x_A m_A + x_B m_B}{m_A + m_B} \\ \tfrac{y_A m_A + y_B m_B}{m_A + m_B} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \tfrac{2 x_A m_B + x_B m_B}{2 m_B + m_B} \\ \tfrac{2 y_A m_B + y_B m_B}{2 m_B + m_B} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \tfrac{2 x_A + x_B}{3} \\ \tfrac{2 y_A + y_B}{3} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \tfrac{2 + 4}{3} \\ \tfrac{12 + 3}{3} \end{bmatrix} \,\mathrm{m} \\ &= \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \end{bmatrix} \,\mathrm{m}\end{split}\]

b) Fall 2

Sei jetzt stattdessen \(m_A = \tfrac 1 2 m_B\), d.h. sei jetzt die Masse \(m_A\) halb so groß wie die Masse \(m_B\). Berechnen Sie hierfür die Koordinaten des Gesamtschwerpunkts. Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} x_S\\ y_S \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix} \,\mathrm{m}\end{split}\]

Lösung

\[\begin{split}\begin{bmatrix} x_S\\ y_S \end{bmatrix} &= \tfrac13 \begin{bmatrix}1\\6\end{bmatrix} \mathrm{m} + \tfrac23 \begin{bmatrix}4\\3\end{bmatrix} \mathrm{m} \\ &= \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix} \,\mathrm{m}\end{split}\]

c) Abhängig von α

Berechnen Sie die Koordinaten des Gesamtschwerpunkts abhängig von \(0\le\alpha\le 1\) definiert als:

\[\alpha = \tfrac{m_B}{m_A + m_B} \quad\Leftrightarrow \quad (1-\alpha)=\tfrac{m_A}{m_A + m_B}\]

Hinweis

  • \(\alpha\) ist die Masse \(m_B\) bezogen auf die Gesamtmasse \(m_A + m_B\).

  • \(\alpha=1\) bedeutet: \(m_A=0\).

  • \(\alpha=0\) bedeutet: \(m_B=0\).

  • \(\alpha=\tfrac 13\) bedeutet: Fall 1.

  • \(\alpha=\tfrac 23\) bedeutet: Fall 2.

Verwenden Sie den Vektor \(\boldsymbol d\) (Vektor zwischen den Punktmassen) mit den Komponenten:

\[\begin{split}\begin{bmatrix}d_x\\d_y\end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}x_B\\y_B\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}x_A\\y_A\end{bmatrix}\end{split}\]

Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} x_S\\ y_S \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} x_A \\ y_A \end{bmatrix} + \alpha \begin{bmatrix} d_x\\ d_y \end{bmatrix}\end{split}\]

Lösung

Schwerpunkt nach Definition:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} x_S\\ y_S \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \tfrac{x_A m_A + x_B m_B}{m_A + m_B} \\ \tfrac{y_A m_A + y_B m_B}{m_A + m_B} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \tfrac{m_A}{m_A + m_B} x_A + \tfrac{m_B}{m_A + m_B} x_B \\ \tfrac{m_A}{m_A + m_B} y_A + \tfrac{m_B}{m_A + m_B} y_B \end{bmatrix}\end{split}\]

Und nach Einsetzen von \(\alpha\):

\[\begin{split}\begin{bmatrix} x_S\\ y_S \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} (1-\alpha) x_A + \alpha x_B \\ (1-\alpha) y_A + \alpha y_B \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} x_A \\ y_A \end{bmatrix} + \alpha \left( \begin{bmatrix} x_B \\ y_B \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} x_A \\ y_A \end{bmatrix} \right) \\ &= \begin{bmatrix} x_A \\ y_A \end{bmatrix} + \alpha \begin{bmatrix}d_x\\d_y\end{bmatrix}\end{split}\]