1.4.1.C

Gegeben

Symbol: \(b\)

Berechnen Sie \(\bar z_S\), also die \(\bar z\)-Koordinate des Schwerpunkts/Flächenmittelpunkts S. Gehen Sie wie folgt vor:

a) Schwerpunkte der Teilflächen

Teilen Sie die Fläche ein in i Teilflächen, für die bekannt ist:

deren Schwerpunktpositionen \(\bar z_i\)
deren Flächeninhalte \(A_i\)

Und verwenden Sie dann folgende Formel zur Berechnung der Position \(\bar z_S\) des Schwerpunkts/Flächenmittelpunkts der Gesamtfläche:

\[\bar z_S = \tfrac{\sum \bar z_i A_i }{\sum A_i}\]

Zeigen Sie, dass:

\[\bar z_S = \tfrac 9 4 b\]

Lösung

Bemerkung

\(A_1\) sei die Vereinigung von \(\tfrac{A_1}{2}\) und \(\tfrac{A_1}{2}\).
Die \(\bar z\)-Koordinaten der Schwerpunkte der Teilflächen sind gleichzeitig die Abstände der Schwerpunkte von der Oberkante des Profils.

	\(\bar z_i\)	\(A_i\)	\(\bar z_i A_i\)
1	\(\tfrac 5 2 b\)	\(6 b^2\)	\(\tfrac{30}{2} b^3\)
2	\(\tfrac 3 2 b\)	\(3 b^2\)	\(\tfrac{9}{2} b^3\)
3	\(\tfrac 7 2 b\)	\(2 b^2\)	\(\tfrac{14}{2} b^3\)
4	\(\tfrac 1 2 b\)	\(1 b^2\)	\(\tfrac{1}{2} b^3\)
		\(\sum = 12 b^2\)	\(\sum = \tfrac{54}{2} b^3\)

Es ist:

\[\begin{split}\bar z_S &= \tfrac{\sum_{i=1}^4 \bar z_i A_i}{\sum_{i=1}^4 A_i} \\ &= \tfrac{\tfrac{54}{2}b^3}{12 b^2} \\ &= \tfrac 9 4 b\end{split}\]

Bemerkung

Es sind auch andere Aufteilungen möglich.

b) Schwerpunkt-Position

Berechnen Sie \(\bar z_S\) exakt (ungerundet) für \(b=2\,\mathrm{mm}\).

Lösung

\[\begin{split}\bar z_S &= \tfrac 9 4 b \\ &= \tfrac 9 4 \cdot 2\,\mathrm{mm} \\ &=4{,}5 \,\mathrm{mm}\end{split}\]

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import *
from sympy import *

# ---

b = var("b")
Ai = b*b *Matrix([6, 3, 2, 1])
zi =   b *Matrix([5, 3, 7, 1])/2

pprint("\nzS:")
zS = zi.dot(Ai) / sum(Ai)
pprint(zS)

pprint("\nzS / mm:")
tmp = zS
tmp = tmp.subs(b,2*mm)
tmp /= mm
pprint(tmp)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
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