1.4.1.D

Gegeben

Symbole: \(B, H, h, b_l, b_r, r\)

a) (x,y)-Koordinaten

Berechnen Sie die Koordinaten des Flächenmittelpunkts/Schwerpunkts S bezogen auf das \((x,y)\)-System, also:

\[\begin{split}x_S&= \\ y_S&=\end{split}\]

Lösung

	\(x_i\)	\(y_i\)	\(A_i\)	\(x_i A_i\)	\(y_i A_i\)
1	\(0\)	\(0\)	⊕ \(BH\)	\(0\)	\(0\)
2	\(-b_l\)	\(h\)	⊖ \(\pi r^2\)	\(\pi r^2 b_l\)	\(-\pi r^2 h\)
3	\(-b_l\)	\(-h\)	⊖ \(\pi r^2\)	\(\pi r^2 b_l\)	\(\pi r^2h\)
4	\(b_r\)	\(0\)	⊖ \(\pi r^2\)	\(-\pi r^2 b_r\)	\(0\)

\[\begin{split}x_S &= \tfrac{\sum x_i A_i }{\sum A_i}\\ &= \tfrac{\pi r^2(2b_l-b_r)}{BH-3\pi r^2}\\ y_S &= \tfrac{\sum y_i A_i}{\sum A_i}\\ &= 0\end{split}\]

\(y_S=0\) gilt wegen der Symmetrie.

b) Ergebnis für Größen

Sei ab hier gegeben:

\[\begin{split}B &= 11 \,\mathrm{cm}\\ H &= 4{,}5 \,\mathrm{cm} \\ h &= 1 \,\mathrm{cm} \\ b_l &= 3 \,\mathrm{cm} \\ b_r &= 4 \,\mathrm{cm} \\ r &= 0{,}5 \,\mathrm{cm}\end{split}\]

Berechnen Sie \(x_S\) , und zwar in \(\mathrm{cm}\) (Zentimeter) und gerundet auf \(0{,}001\).

Lösung

\[\begin{split}x_S &= \tfrac{\pi r^2(2b_l-b_r)}{BH-3\pi r^2}\\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}001}}{\approx}0{,}033\,\mathrm{cm}\end{split}\]

c) (x̄, ȳ)-Koordinaten

Berechnen Sie die Koordinaten des Flächenmittelpunkts/Schwerpunkts S bezogen auf das \((\bar x,\bar y)\)-System, also:

\[\begin{split}\bar x_S&= \\ \bar y_S&=\end{split}\]

Und zwar für die gegebenen Größen und in \(\mathrm{cm}\) (Zentimeter) und gerundet auf \(0{,}001\).

Lösung

\[\begin{split}\bar x_S&= x_S - \tfrac12 B\\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}001}}{\approx}-5{,}467\,\mathrm{cm} \\ \bar y_S&= y_S - \tfrac12 H\\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}001}}{\approx}-2{,}25\,\mathrm{cm} \\\end{split}\]

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2
cm        =  m/100

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# Printing:
def printout(x, unit=1, prec="nil", sub_list=[]):
    x = x.subs(sub_list)
    x /= unit
    try: 
        x = x.applyfunc(simplify)
    except:
        tmp = x.simplify()
        if tmp != None:
            x = tmp
    if prec != "nil":
        x = iso_round(x, prec)
    pprint(x)
    return

# ---

B  = 11 *cm
H  = 45 *cm/10
h  =  1 *cm
bl =  3 *cm
br =  4 *cm
r  =  5 *cm/10

pprint("\n\nxS:")
tmp = pi * r**2
tmp *= 2*bl - br
tmp /= B*H - 3*pi*r**2
tmp = tmp.simplify()
xS = tmp
pprint(xS)

pprint("\nxS / cm:")
printout(xS, unit=cm, prec=3, sub_list=[])

pprint("\n(x̄S, ȳS) / cm:")
tmp = Matrix([xS - B/2, 0 - H/2])
printout(tmp, unit=cm, prec=3, sub_list=[])

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.