1.4.1.E

Gegeben

Symbole: \(r, \rho, t\)

a) Symmetrie

Begründen Sie, dass der Schwerpunkt von A auf der Symmetrielinie bei \(x=0\) liegt.

Lösung

Liegt auf der Symmetrielinie, weil auch die Schwerpunkte der Teilkörper auf der Symmetrielinie liegen.

Das Integral über das Volumen lässt sich aufteilen in ein Integral über das Volumen \(V^-\) links der y-Achse und ein Integral über das Volumen \(V^+\) rechts der y-Achse.

\[\int_V x \, {\mathsf d} m = \int_{V^-} x \, {\mathsf d} m + \int_{V^+} x \, {\mathsf d} m\]

Jedes \(x \, {\mathsf d} m\) links der y-Achse ist negativ, da \(x<0\) und hat ein betragsmäßig gleich großes \(x \, {\mathsf d} m\) rechts der y-Achse, welches positiv ist.

b) Schwerpunkt-Positionen

Geben Sie an:

\(y_{S1}=\ldots\,\): Die y-Position des Schwerpunkts der Halbkreis-Scheibe 1.
\(y_{S2}=\ldots\,\): Die y-Position des Schwerpunkts der Rechteck-Scheibe 2.

Hinweis für \(y_{S1}\): Es gilt (Nachrechnung nicht gefordert):

\[\underbrace{\tfrac12 \pi r^2}_A y_{S1} =\int_{\varphi=0}^{\pi} \int_{\tilde r=0}^{r} \underbrace{\tilde r \sin\varphi}_y \, \underbrace{\tilde r {\mathsf d} \tilde r{\mathsf d} \varphi}_{{\mathsf d}A} = \tfrac23 r^3\]

Lösung

\[\begin{split}y_{S1} &=\tfrac{4r}{3\pi} \\ y_{S2} &=\tfrac r 4\end{split}\]

c) Massen

Berechnen Sie die Massen von 1 und 2 - und die Masse von A. Und zwar für die gegebenen Symbole:

\[m_1 =\dots \qquad m_2 =\dots \qquad m_A = \dots\]

Lösung

\[\begin{split}m_1 &=\tfrac{\pi r^2}{2} \rho t \\ m_2 &=\tfrac r 2 r \rho t \\ m_A &= m_1 - m_2 \\ &= \tfrac{r^2}{2} (\pi - 1) \rho t\end{split}\]

d) y-Position des Schwerpunkt von A

Berechnen Sie die \(y\)-Position \(y_A\) des Schwerpunkts S von A. Drücken Sie Ihr Ergebnis abhängig von \(r\) aus und runden Sie auf Rundestellenwert \(0{,}001\). Zeigen Sie, dass:

\[y_A \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}001}}{\approx} 0{,}506 \, r\]

Lösung

\[\begin{split}y_A &= \tfrac{y_{S1} m_1 - y_{S2} m_2}{m_1 - m_2} \\ &= \tfrac{\tfrac{4r}{3\pi} \tfrac{\pi r^2}{2} \rho t - \tfrac r 4 \tfrac{r^2}{2} \rho t}{ \tfrac{\pi r^2}{2} \rho t- \tfrac{r^2}{2} \rho t} \\ &= \tfrac{\tfrac{4r}{3\pi} \tfrac{\pi r^2}{2} - \tfrac r 4 \tfrac{r^2}{2}}{ \tfrac{\pi r^2}{2} - \tfrac{r^2}{2}} \\ &= \tfrac{\tfrac{4r}{3\pi} \pi r^2 - \tfrac r 4 r^2}{ \pi r^2 - r^2} \\ &= \tfrac{\tfrac{4r}{3} - \tfrac r 4}{ \pi - 1} \\ &= \tfrac{13 r}{12(\pi - 1)} \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}001}}{\approx} 0{,}506 \, r\end{split}\]

e) y-Position des Schwerpunkts vom Verbund

Sei:

\(m_B=\tfrac12 m_A\,\): Die Masse einer Punktmasse.
\(y_B\,\): Die \(y\)-Position des Schwerpunkts dieser Punktmasse.

Berechnen Sie die \(y\)-Position \(y_B\) der Punktmasse B, sodass die y-Position des Schwerpunkts des Verbunds aus A und B gleich null ist. Geben Sie Ihr Ergebnis abhängig von \(r\) an, und runden Sie auf Rundestellenwert \(0{,}001\). Zeigen Sie, dass:

\[y_B \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}001}}{\approx} -1{,}012 \, r\]

Lösung

Sei: \(y_V\) die y-Position des Schwerpunkts des Verbunds aus A und Punktmasse, also:

\[y_V = \tfrac{ y_A m_A + y_B m_B } {m_A + m_B}\]

Diese ist gleich null, genau dann wenn:

\[\begin{split}y_A m_A + y_B m_B &= 0 \\ y_A m_A + y_B \tfrac12 m_A&=0 \\ y_A + \tfrac12 y_B &=0 \\ y_B &= -2 y_A \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}001}}{\approx} -1{,}012 \, r\end{split}\]

f) Masse und Schwerpunkt-Position für gegebene Größen

Berechnen Sie:

die Masse \(m_A\) von A in \(\mathrm{kg}\) (Kilogramm) und gerundet auf Rundestellenwert \(1\) und
die \(y\)-Position \(y_A\) in \(\mathrm{m}\) (Meter) des Schwerpunkts S von A. Und zwar gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}001\)

für folgende Größen:

\[\begin{split}\rho &= 1000 \, \tfrac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\\ r &= 2\,\mathrm{m} \\ t &= 0{,}1\,\mathrm{m}\end{split}\]

\[\begin{split}m_A&\stackrel{\scriptscriptstyle{1{,}0}}{\approx} \ldots \\ y_A &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}001}}{\approx} \ldots\end{split}\]

Lösung

Einsetzen liefert:

\[\begin{split}m_A&\stackrel{\scriptscriptstyle{1{,}0}}{\approx} 428 \,\mathrm{kg} \\ y_A &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}001}}{\approx} 1{,}012 \,\mathrm{m}\end{split}\]

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# Printing:
def printout(x, unit=1, prec="nil", sub_list=[]):
    x = x.subs(sub_list)
    x /= unit
    try: 
        x = x.applyfunc(simplify)
    except:
        tmp = x.simplify()
        if tmp != None:
            x = tmp
    if prec != "nil":
        x = iso_round(x, prec)
    pprint(x)
    return

# ---

r, rho, t = symbols("r, rho, t")

sub_list=[
    ( r,      2 *m        ),
    ( rho, 1000 *kg/m**3  ),
    ( t,      1 *m/10     ),
    ]
prec = 3

yS1 = 4*r/3/pi
yS2 = r/4

A1 = pi*r*r/2
m1 = A1*rho*t

A2 = r/2 * 2*r/2
m2 = A2*rho*t

mA = m1 - m2
mA = mA.simplify()

pprint("\nmA:")
pprint(mA)

pprint("\nyA:")
yA = (yS1*m1 - yS2*m2)/(m1 - m2)
printout(yA, unit=1, prec="nil", sub_list=[])

pprint("\nyA / r:")
printout(yA/r, unit=1, prec=prec, sub_list=sub_list)

pprint("\nyB: ")
yB = -2*yA
printout(yB, unit=1, prec="nil", sub_list=[])

pprint("\nyB / r:")
printout(yB/r, unit=1, prec=prec, sub_list=sub_list)

pprint("\nmA / kg:")
printout(mA, unit=kg, prec=0, sub_list=sub_list)

pprint("\nyA / m:")
printout(yA, unit=m, prec=prec, sub_list=sub_list)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.