1.4.1.F

Gegeben

Symbol: \(t\)

a) Drei Teilflächen

Berechnen Sie die Schwerpunkt-Koordinaten \(\left(x_S, y_S\right)\) der Schwerpunkts S durch Aufteilung in drei Teilflächen.

Lösung

\[\begin{split}x_S &= \tfrac{\sum x_i A_i}{\sum A_i} \\ y_S &= \tfrac{\sum y_i A_i}{\sum A_i}\end{split}\]

Auswertung mit Tabelle:

	\(x_i\)	\(y_i\)	\(A_i\)	\(x_i A_i\)	\(y_i A_i\)
\(1\)	\(\tfrac12 t\)	\(2t\)	⊕ \(2 t^2\)	\(t^3\)	\(4 t^3\)
\(2\)	\(\tfrac72 t\)	\(2t\)	⊕ \(2 t^2\)	\(7 t^3\)	\(4 t^3\)
\(3\)	\(2 t\)	\(\tfrac12 t\)	⊕ \(4 t^2\)	\(8 t^3\)	\(2 t^3\)

Ergebnis:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} x_S\\ y_S \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \tfrac{\sum x_i A_i }{\sum A_i}\\ \tfrac{\sum y_i A_i }{\sum A_i} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \tfrac{16 t^3}{8 t^2}\\ \tfrac{10 t^3}{8 t^2} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 2t \\ \tfrac{5}{4}t \end{bmatrix}\end{split}\]

b) Zwei Teilflächen

Berechnen Sie \(\left(x_S, y_S\right)\) durch Aufteilung in zwei Teilflächen.

Lösung

Flächen:

\[\begin{split}C &= 12 t^2 \\ B &= 4 t^2 \\ A &= C - B \\ &= 8 t^2\end{split}\]

Tabelle:

	\(x_i\)	\(y_i\)	\(A_i\)	\(x_i A_i\)	\(y_i A_i\)
\(C\)	\(2 t\)	\(\tfrac32 t\)	⊕ \(12 t^2\)	\(24 t^3\)	\(18 t^3\)
\(B\)	\(2 t\)	\(2 t\)	⊖ \(4 t^2\)	\(-8 t^3\)	\(-8 t^3\)

Ergebnis wie oben:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} x_S\\ y_S \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \tfrac{\sum x_i A_i }{\sum A_i}\\ \tfrac{\sum y_i A_i }{\sum A_i} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \tfrac{16 t^3}{8 t^2}\\ \tfrac{10 t^3}{8 t^2} \end{bmatrix}\end{split}\]