1.4.1.G

Gegeben

../../../../_images/1.4.1.G.png

Symbole:

\[R, t, \rho\]

Größen:

\[\begin{split}R&= 1 \,\mathrm{m} \\ t&= \tfrac{1}{10} \,\mathrm{m} \\ \rho &= 1000 \, \tfrac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\end{split}\]

Kreissektor mit konstanter Dicke \(t\) und konstanter Dichte \(\rho\).

Hinweis

\(\left(x,y\right)\)-Koordinaten des Ortsvektors zum Schwerpunkt S einer Scheibe mit konstanter Dicke und Dichte in Polarkoordinaten:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} x_S\\ y_S \end{bmatrix} = \tfrac{1}{A} \begin{bmatrix} \int x \,{\mathsf d}A \\ \int y \,{\mathsf d}A \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \int\int r \cos \varphi \, r \, {\mathsf d}r {\mathsf d}\varphi \\ \int\int r \sin \varphi \, r \, {\mathsf d}r {\mathsf d}\varphi \end{bmatrix}\end{split}\]

wobei \(A=\int {\mathsf d}A\) der Flächeninhalt der Scheibe ist.

a) Flächeninhalt und Masse

Berechnen Sie die Fläche \(A\) der Scheibe und ihre Masse \(m\).

Für die gegebenen Symbole: Berechnen Sie:

\[\begin{split}A &= \dots \\ m &= \dots\end{split}\]

Für die gegebenen Größen: Berechnen Sie \(A\) in \(\mathrm{m}^2\) (Quadratmeter) und \(m\) in \(\mathrm{kg}\) (Kilogramm). Runden Sie auf Rundestellenwert \(0{,}01\). Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}A &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 0{,}52 \,\mathrm{m}^2 \\ m &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 52{,}36 \,\mathrm{kg}\end{split}\]

Lösung

Für die gegebenen Symbole:

\[\begin{split}A &= \tfrac16 \pi R^2 \\ m &= \rho A t\end{split}\]

Für die gegebenen Größen:

\[\begin{split}A &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 0{,}52 \,\mathrm{m}^2 \\ m &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 52{,}36 \,\mathrm{kg}\end{split}\]

b) Schwerpunktposition

Berechnen Sie symbolisch die Koordinaten \(\left(x_m, y_m \right)\) des Schwerpunkts S der Scheibe.

Für die gegebenen Symbole: Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} x_m \\ y_m \end{bmatrix} &= \tfrac R \pi \begin{bmatrix} \sqrt 3\\ 1 \end{bmatrix}\end{split}\]

Für die gegebenen Größen: Runden Sie auf Rundestellenwert \(0{,}01\), und zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} x_m \\ y_m \end{bmatrix} \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} 0{,}55\\ 0{,}32 \end{bmatrix} \,\mathrm{m}\end{split}\]

Lösung

Für die gegebenen Symbole:

\[\begin{split}x_m &= \tfrac{\int x \, {\mathsf d} A}{A}\\ &= \tfrac{\int_{\varphi=0}^{\tfrac{\pi}{3}} \int_{r=0}^R r \cos \varphi \, r \, {\mathsf d} r {\mathsf d} \varphi}{\tfrac16 \pi R^2}\\ &= \tfrac{\tfrac13 R^3}{\tfrac16 \pi R^2} \int_{\varphi=0}^{\tfrac{\pi}{3}} \cos \varphi \, {\mathsf d} \varphi\\ &= \tfrac{2R}{\pi} \left[ \sin\varphi \right ]_{\varphi=0}^{\tfrac{\pi}{3}} \\ &= \tfrac{2R}{\pi} \left[ \tfrac{\sqrt3}{2} - 0 \right ] \\ &= \tfrac{\sqrt 3}{\pi}R \\ \\ y_m &= \tfrac{\int y \, {\mathsf d} A}{\int {\mathsf d} A}\\ &= \tfrac{\int_{\varphi=0}^{\tfrac{\pi}{3}} \int_{r=0}^R r \sin \varphi \, r \, {\mathsf d} r {\mathsf d} \varphi}{\tfrac16 \pi R^2}\\ &= - \tfrac{2R}{\pi} \left[ \cos\varphi \right ]_{\varphi=0}^{\tfrac{\pi}{3}} \\ &= - \tfrac{2R}{\pi} \left[\tfrac12 - 1 \right ] \\ &= \tfrac{1}{\pi}R\end{split}\]

Für die gegebenen Größen und gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01\):

\[\begin{split}\begin{bmatrix} x_m \\ y_m \end{bmatrix} \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} 0{,}55\\ 0{,}32 \end{bmatrix} \,\mathrm{m}\end{split}\]

c) Zusatzmasse

Die Masse der Scheibe ist:

\[m = \tfrac16 \pi R^2 \rho t\]

Es wird eine Punktmasse der Masse \(M=2m\) hinzugefügt.

../../../../_images/1.4.1.G_1.png

Für die gegebenen Symbole: Berechnen Sie die Koordinaten \(\left(x_M, y_M\right)\) des Schwerpunkts der Punktmasse, sodass der Schwerpunkt des Verbunds der beiden Massen im Koordinatenursprung O liegt:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} x_M \\ y_M \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \dots\\ \dots \end{bmatrix}\end{split}\]

Für die gegebenen Größen: Runden Sie auf Rundestellenwert \(0{,}01\). Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} x_M \\ y_M \end{bmatrix} \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} -0{,}28\\ -0{,}16 \end{bmatrix} \, \mathrm{m}\end{split}\]

Lösung

\[\begin{split}m \begin{bmatrix} x_m \\ y_m \end{bmatrix} + 2m \begin{bmatrix} x_M \\ y_M \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} x_m \\ y_m \end{bmatrix} + 2 \begin{bmatrix} x_M \\ y_M \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} x_M \\ y_M \end{bmatrix} &= -\tfrac12 \begin{bmatrix} x_m \\ y_m \end{bmatrix} \\ &= -\tfrac12 \tfrac R \pi \begin{bmatrix} \sqrt 3\\ 1 \end{bmatrix} \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \begin{bmatrix} -0{,}28\\ -0{,}16 \end{bmatrix} \, \mathrm{m}\end{split}\]

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import *
from sympy import *

# Units:
(mm, cm)  =  ( m/1000, m/100 )
kN        =  10**3*newton
Pa        =  newton/m**2
MPa       =  10**6*Pa
GPa       =  10**9*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

def printout(x, unit=1, prec="nil", sub_list=[]):
    x = x.subs(sub_list)
    x /= unit
    try: 
        x = x.applyfunc(simplify)
    except:
        x = x.simplify()
    if prec != "undefined":
        x = iso_round(x, prec)
    pprint(x)
    return

# ---

var("R, t, rho")

sub_list=[
    (R, 1 *m),
    (t, 1 *m/10),
    (rho, 1000 *kg/m**3),
    ]

prec = 2

A = pi * R*R / 6
mass = rho * A * t

pprint("\nA:")
pprint(A)
pprint("\nm:")
pprint(mass)

pprint("\nA / m²:")
printout(A, unit=m*m, prec=prec, sub_list=sub_list)

pprint("\nm / kg:")
printout(mass, unit=kg, prec=prec, sub_list=sub_list)

pprint("\nxm / m:")
xm = R/pi *sqrt(3)
printout(xm, unit=m, prec=prec, sub_list=sub_list)

pprint("\nym / m:")
ym = R/pi
printout(ym, unit=m, prec=prec, sub_list=sub_list)

pprint("\nxM / m:")
xM = -xm/2
printout(xM, unit=m, prec=prec, sub_list=sub_list)

pprint("\nyM / m:")
yM = -ym/2
printout(yM, unit=m, prec=prec, sub_list=sub_list)

Programm ausführen? Dazu:

  1. Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.

  2. Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.

  3. Play: Knopf ▶ drücken.