1.4.2.A

Gegeben

Symbole:

\[a, q_1, q_2, q_3\]

Größen:

\[\begin{split}a&= 6\,\mathrm{m} \\ q_1 &= 6 \, \tfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}} \\ q_2 &= 9 \, \tfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}} \\ q_3 &= 3 \, \tfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}} \\\end{split}\]

a) Resultierende

Berechnen Sie die Resultierenden \(R_1, R_2, R_3\) der verteilten Kräfte \(q_1, q_2, q_3\). Und zwar zuerst für die gegebenen Symbole und dann für die gegebenen Größen.

\[\begin{split}R_1 &= \int_{x=0}^{\tfrac14 a} q(x) \,{\mathsf d}x \\ &= \int_{x=0}^{\tfrac14 a} q_1 \,{\mathsf d}x \\ &= q_1 \tfrac14 a \\ &=\dots \\ R_2 &= \int_{x=\tfrac14 a}^{\tfrac34 a} q(x) \,{\mathsf d}x \\ R_3 &= \dots\end{split}\]

Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}R_1 &= 9 \, \mathrm{N} \\ R_2 &= 27 \, \mathrm{N} \\ R_3 &= \tfrac92 \, \mathrm{N}\end{split}\]

Lösung

\[\begin{split}R_1 &= \int_{x=0}^{\tfrac14 a} q(x) \,{\mathsf d}x \\ &= \int_{x=0}^{\tfrac14 a} q_1 \,{\mathsf d}x \\ &= q_1 \tfrac14 a \\ &= 6\,\tfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}} \tfrac14 \cdot 6\,\mathrm{m} \\ &= 9 \, \mathrm{N} \\ R_2 &= \int_{x=\tfrac14 a}^{\tfrac34 a} q(x) \,{\mathsf d}x \\ &= \int_{x=\tfrac14 a}^{\tfrac34 a} q_2 \,{\mathsf d}x \\ &= \dots \\ &= 27 \, \mathrm{N} \\ R_3 &= \int_{x=\tfrac34 a}^{a} q_3 \,{\mathsf d}x \\ &= \dots \\ &= \tfrac92 \, \mathrm{N}\end{split}\]

b) Wirkungslinien der verteilten Kräfte

Zeigen Sie, dass die Wirkungslinien sind bei:

\[\begin{split}h_1 &= \tfrac18 a \\ &= 0{,}75\,\mathrm{m} \\ h_2 &= \tfrac12 a \\ &= 3{,}0\,\mathrm{m} \\ h_3 &= \tfrac78 a \\ &= 5{,}25\,\mathrm{m}\end{split}\]

Lösung

\[\begin{split}h_1 &= \tfrac{1}{R_1} \left\{ \int_{x=0}^{\tfrac14 a} x q_1 \,{\mathsf d}x \right\} \\ &= \dots \\ &= \tfrac18 a \\ &= 0{,}75\,\mathrm{m} \\ h_2 &= \tfrac{1}{R_2} \left\{ \int_{x=\tfrac14 a}^{\tfrac34 a} x q_2 \,{\mathsf d}x \right\} \\ &= \dots \\ &= \tfrac12 a \\ &= 3{,}0\,\mathrm{m} \\ h_3 &= \tfrac{1}{R_3} \left\{ \int_{x=\tfrac34 a}^{a} x q_3 \,{\mathsf d}x \right\} \\ &= \dots \\ &= \tfrac78 a \\ &= 5{,}25\,\mathrm{m}\end{split}\]

c) Wirkungslinie der Resultierenden

Berechnen Sie die Position \(h\) der Wirkungslinie von:

\[R = R_1 + R_2 + R_3\]

Zeigen Sie, dass:

\[h = 2{,}75 \,\mathrm{m}\]

Lösung

Resultierende:

\[\begin{split}R &= R_1 + R_2 + R_3 \\ &=\tfrac{81}{2}\,\mathrm{N} \\ &= 40{,}5\,\mathrm{N}\end{split}\]

\[\begin{split}h &= \tfrac{h_1 R_1 + h_2 R_2 + h_3 R_3}{R} \\ &= \dots \\ &= \tfrac{11}{4} \,\mathrm{m} \\ &= 2{,}75 \,\mathrm{m}\end{split}\]

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, integrate

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# Printing:
def printout(x, unit=1, prec="nil", sub_list=[]):
    x = x.subs(sub_list)
    x /= unit
    try: 
        x = x.applyfunc(simplify)
    except:
        tmp = x.simplify()
        if tmp != None:
            x = tmp
    if prec != "nil":
        x = iso_round(x, prec)
    pprint(x)
    return

# ---

a, q1, q2, q3 = symbols("a, q1, q2, q3")

sub_list=[
    (a, 6*m),
    (q1, 6 *N/m),
    (q2, 9 *N/m),
    (q3, 3 *N/m),
    ]

x = symbols("x")

R1 = integrate(q1, (x, 0, a/4))
R2 = integrate(q2, (x, a/4, 3*a/4))
R3 = integrate(q3, (x, 3*a/4, a))

pprint("\nR1, R2, R3:")
for R in [R1, R2, R3]:
    pprint(R)
pprint("\nR1, R2, R3 / N:")
for R in [R1, R2, R3]:
    printout(R, unit=N, prec="nil", sub_list=sub_list)

pprint("\nh1, h2, h3:")
h1 = integrate(q1*x, (x, 0, a/4))/R1
h2 = integrate(q2*x, (x, a/4, 3*a/4))/R2
h3 = integrate(q3*x, (x, 3*a/4, a))/R3
for h in [h1, h2, h3]:
    pprint(h)

pprint("\nh1, h2, h3 / m:")
for h in [h1, h2, h3]:
    printout(h, unit=m, prec="nil", sub_list=sub_list)

pprint("\nR:")
R = R1 + R2 + R3
pprint(R)

pprint("\nR / N:")
printout(R, unit=N, prec="nil", sub_list=sub_list)

pprint("\nh:")
h = (h1*R1 + h2*R2 + h3*R3) / R
printout(h, unit=1, prec="nil", sub_list=[])

pprint("\nh / m:")
printout(h, unit=m, prec="nil", sub_list=sub_list)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.