1.4.2.B

Gegeben

Symbole:

\[a, q_0\]

Größen:

\[\begin{split}a &= 9 \,\mathrm{m} \\ q_0 &= 6 \, \tfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}\end{split}\]

Berechnen Sie die Resultierende und die Position ihrer Wirkungslinie. Gehen Sie wie folgt vor.

a) Funktionen

Berechnen Sie:

\[q_1(x)= \dots \qquad q_2(x)= \dots\]

Bemerkung

Definitionsbereiche:

\[q_1: \quad 0 < x < \tfrac13 a \qquad q_2: \quad \tfrac13 a < x < a\]

Lösung

\(q_1\) und \(q_2\) sind lineare Funktionen, sodass sie mit einer Geradengleichung beschrieben werden können.

Ergebnis:

\[q_1(x) = \tfrac{3q_0}{a} x \qquad q_2(x) = \tfrac{3q_0}{2a}\left(-x + a\right)\]

b) Resultierende

Berechnen Sie die Resultierenden \(R_1, R_2\) der verteilten Kräfte \(q_1, q_2\). Berechnen Sie die Resultierenden zuerst für die gegebenen Symbole und dann für die gegebenen Größen.

\[R_1 = \int_{x=0}^{\tfrac13 a} q_1(x) \,{\mathsf d}x = \dots \qquad R_2 = \int_{x=\tfrac13 a}^{a} q_2(x) \,{\mathsf d}x = \dots\]

Zeigen Sie, dass:

\[R_1= 9 \, \mathrm{N} \qquad R_2 = 18 \, \mathrm{N}\]

Lösung

\[\begin{split}R_1 &= \int_{x=0}^{\tfrac13 a} q_1(x) \,{\mathsf d}x \\ &=\dots \\ &= 9 \, \mathrm{N} \\ R_2 &= \int_{x=\tfrac13 a}^{a} q_2(x) \,{\mathsf d}x \\ &=\dots \\ &= 18 \, \mathrm{N}\end{split}\]

c) Wirkungslinien

Für die gegebenen Größen: Zeigen Sie, dass die Wirkungslinien der Resultierenden der verteilten Kräfte sind bei:

\[h_1 =2 \,\mathrm{m} \qquad h_2= 5\,\mathrm{m}\]

Lösung

\[\begin{split}h_1 &= \tfrac{1}{R_1} \left\{ \int_{x=0}^{\tfrac13 a} x q_1 \,{\mathsf d}x \right\} \\ &= \dots \\ &= \tfrac 2 9 a \\ &= 2\,\mathrm{m} \\ h_2 &= \tfrac{1}{R_2} \left\{ \int_{x=\tfrac13 a}^a x q_2 \,{\mathsf d}x \right\} \\ &= \dots \\ &= \tfrac 5 9 a \\ &= 5\,\mathrm{m}\end{split}\]

d) Gesamt-Resultierende

Berechnen Sie die Gesamt-Resultierende:

\[R = R_1 + R_2\]

und die Position \(h\) ihrer Wirkungslinie. Zeigen Sie, dass - für die gegebenen Größen:

\[h = 4 \,\mathrm{m}\]

Lösung

Resultierende:

\[\begin{split}R &= R_1 + R_2 \\ &= 27\,\mathrm{N}\end{split}\]

Position \(h\) ihrer Wirkungslinie:

\[\begin{split}h &= \tfrac{h_1 R_1 + h_2 R_2}{R} \\ &= \dots \\ &= 4 \,\mathrm{m}\end{split}\]

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, symbols, integrate

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# Printing:
def printout(x, unit=1, prec="nil", sub_list=[]):
    x = x.subs(sub_list)
    x /= unit
    try: 
        x = x.applyfunc(simplify)
    except:
        tmp = x.simplify()
        if tmp != None:
            x = tmp
    if prec != "nil":
        x = iso_round(x, prec)
    pprint(x)
    return

# ---

q, a = symbols("q, a")

sub_list=[
    (q, 6 *N/m),
    (a, 9 *m),
    ]

x = symbols("x")

pprint("\nq1, q2:")
q1 = 3*q/a*x
q2 = 3*q/2/a*(-x + a)
pprint(q1)
pprint(q2)

pprint("\nR:")
R1 = integrate(q1, (x, 0, a/3))
R2 = integrate(q2, (x, a/3, a))
R = R1 + R2
tmp = R
pprint(tmp)

pprint("\nR / N:")
printout(R, unit=N, prec="nil", sub_list=sub_list)

pprint("\nh1, h2:")
h1 = integrate(q1*x, (x, 0, a/3)) / R1
h2 = integrate(q2*x, (x, a/3, a)) / R2

for h in [h1, h2]:
    pprint(h)

pprint("\nh1, h2 / m:")
for h in [h1, h2]:
    printout(h, unit=m, prec="nil", sub_list=sub_list)

pprint("\nh:")
h = (h1*R1 + h2*R2) / R
pprint(h)

pprint("\nh / m:")
printout(h, unit=m, prec="nil", sub_list=sub_list)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.