1.4.2.C

Gegeben

Symbole:

\[a, q_0\]

Größen:

\[\begin{split}a &= 5\,\mathrm{m} \\ q_0 &= 1\,\tfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}\end{split}\]

Berechnen Sie die Resultierende und die Position ihrer Wirkungslinie. Gehen Sie wie folgt vor.

a) Resultierende

Berechnen Sie die Resultierende \(R\). Verwenden Sie zuerst die gegebenen Symbole. Und setzen Sie dann die gegebenen Größen ein. Zeigen Sie, dass gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}1\), gilt:

\[R \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx} 1{,}7\, \mathrm{N}\]

Lösung

\[\begin{split}R &= \int_{x=0}^{a} q(x) \,{\mathsf d}x \\ &= \tfrac{q_0}{a^2} \int_{x=0}^{a} x^2 \,{\mathsf d}x \\ &= \dots \\ &= \tfrac13 q_0 a \\ &= \tfrac53 \, \mathrm{N} \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx} 1{,}7\, \mathrm{N}\end{split}\]

b) Wirkungslinie

Zeigen Sie, dass für die Position \(h\) der Resultierenden gilt:

\[h = 3{,}75\,\mathrm{m}\]

Lösung

\[\begin{split}h &= \tfrac{1}{R} \left\{ \int_{x=0}^{a} x q_0 \,{\mathsf d}x \right\} \\ &= \dots \\ &= \tfrac34 a \\ &= 3{,}75\,\mathrm{m} \\\end{split}\]

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, integrate

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# Printing:
def printout(x, unit=1, prec="nil", sub_list=[]):
    x = x.subs(sub_list)
    x /= unit
    try: 
        x = x.applyfunc(simplify)
    except:
        tmp = x.simplify()
        if tmp != None:
            x = tmp
    if prec != "nil":
        x = iso_round(x, prec)
    pprint(x)
    return

# ---

q, a = symbols("q, a")

sub_list=[
    (q, 1*N/m),
    (a, 5*m),
    ]

x = symbols("x")
q = q*(x/a)**2

pprint("\nR:")
R = integrate(q, (x, 0, a))
printout(R, unit=1, prec="nil", sub_list=[])

pprint("\nR / N:")
printout(R, unit=N, prec=1, sub_list=sub_list)

pprint("\nh:")
h = integrate(q*x, (x, 0, a))/R
pprint(h)

pprint("\nh / m:")
printout(h, unit=m, prec="nil", sub_list=sub_list)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.