1.4.2.M

Video

Rechnerische Methode: „Integration“

Zeichnen des \(x\)-Pfeils.
Berechnung der Funktion \(q(x)\) mit Einheit \(\frac{\mathrm N}{\mathrm m}\) (Newton pro Meter):

\[q(x)=\ldots\]
Zeichnen des \(R\)-Pfeils und Zeichnen des \(h\)-Pfeils.
Berechnung von \(R\) mit Einheit \(\mathrm N\) (Newton) aus der Kraft-Gleichheits-Bedingung:

\[R = \int q(x) \,{\mathsf d}x\]
Berechnung von \(h\) mit Einheit \(\mathrm m\) (Meter) aus der Moment-Gleichheits-Bedingung:

\[\begin{split}h R &= \int x \cdot q(x) \,{\mathsf d}x \\ h &= \tfrac 1 R \int x \cdot q(x) \,{\mathsf d}x\end{split}\]
Einheitenkontrolle und Plausibilitätskontrolle.

Graphische Methode: „Flächen“

Flächeninhalte der Teilflächen \(R_1, R_2, \cdots\) unter dem Graph der \(q\)-Funktion:

\[\begin{split}R_1 &= \ldots \\ R_2 &= \ldots \\ \ldots &= \ldots\end{split}\]
Positionen der Flächenmittelpunkte der Teilflächen:

\[\begin{split}h_1 &= \ldots \\ h_2 &= \ldots \\ \ldots &= \ldots\end{split}\]
Betrag der Resultierenden = Summe der Flächeninhalte:

\[R = R_1 + R_2 + \ldots\]
Position der Wirkungslinie = Position des Flächenmittelpunkts der Gesamtfläche

\[\begin{split}h &= \tfrac{h_1 R_1 + h_2 R_2 + \ldots}{R_1 + R_2 + \ldots} \\ &= \tfrac 1 R \left(h_1 R_1 + h_2 R_2 + \ldots\right) \\\end{split}\]
Zeichnen der Resultierenden als Pfeil mit Beschriftung \(R\) an der Position \(h\).
Einheitenkontrolle und Plausibilitätskontrolle.

Berechnen Sie die Resultierende und die Position ihrer Wirkungslinie. Und zwar zunächst für die jeweils gegebenen Symbole, und dann für die gegebenen Größen.

a)

../../../../_images/1.4.2.M_a.png — Gegebene *Symbole* bzw. *Größen*:

\[\left(a, q_0 \right) = \left(1 \,\mathrm{m}, 1\, \frac{\mathrm N}{\mathrm m} \right)\]

Lösung

Methode „Integration“

Definition von \(x\) und Berechnung von \(q(x)\):

\[q(x)=q_0\]
\(R\) aus Kraft-Gleichheits-Bedingung:

\[\begin{split}R &= \int_{x=0}^a q(x) \, {\mathsf d} x \\ &= \ldots \\ &= q_0 a\end{split}\]

Details

\[\begin{split}R &= \int_{x=0}^a q(x) \, {\mathsf d} x \\ &= \int_{x=0}^a q_0 \, {\mathsf d} x \\ &= q_0 \int_{x=0}^a \, {\mathsf d} x \\ &= q_0 a\end{split}\]

Einheitenkontrolle

\[\begin{split}[R]&=[q_0 a] \\ &= \mathrm{\tfrac{\mathrm N}{\mathrm m}\mathrm m} \\ &= \mathrm m\end{split}\]

Einsetzen der gegebenen Größen liefert:

\[R =1\, \mathrm{N}\]
\(h\) aus Moment-Gleichheits-Bedingung:

\[\begin{split}h &= \tfrac 1 R \int_{x=0}^a x q(x) \, {\mathsf d} x \\ &= \tfrac 1 R \ldots \\ &= \tfrac 1 R \tfrac *2 q_0 a^2 \\ &= \tfrac12 a\end{split}\]

Details

\[\begin{split}h R &= \int_{x=0}^a x q(x) \, {\mathsf d} x \\ &= q_0 \int_{x=0}^a x \, {\mathsf d} x \\ &= q_0 \left[ \tfrac12 x^2\right]_0^a \\ &=\tfrac 1 2 q_0 a^2\end{split}\]

Auflösen nach \(h\) und Einsetzen des berechneten \(R\) liefert:

\[\begin{split}h &= \frac{\tfrac 1 2 q_0 a^2}{R} \\ &= \frac{\tfrac 1 2 q_0 a^2}{q_0 a} \\ &= \frac12 a\end{split}\]

Einsetzen der gegebenen Größen liefert:

\[h = \frac12 \, \mathrm{m}\]
Zeichnen von \(R\) an der Position \(h\):

b)

../../../../_images/1.4.2.M_b.png — Gegebene *Symbole* bzw. *Größen*:

\[\left(a, q_0 \right) = \left(1 \,\mathrm{m}, 1\, \frac{\mathrm N}{\mathrm m} \right)\]

Lösung

Methode „Integration“

Definition von \(x\) und Berechnung von \(q(x)\):

\[q(x) = q_0 \left(1-\left( \tfrac x a \right) \right)\]
\(R\) aus Kraft-Gleichheits-Bedingung:

\[\begin{split}R &= \int_{x=0}^a q(x) \, {\mathsf d} x \\ &= \dots \\ &= q_0 \tfrac a 2\end{split}\]
\(h\) aus Moment-Gleichheits-Bedingung:

\[\begin{split}h R &= \int_{x=0}^a x q(x) \, {\mathsf d} x \\ &= \dots \\\end{split}\]

Auflösen nach \(h\) und Einsetzen des berechneten \(R\) liefert:

\[h = \tfrac 1 3 a\]
Zeichnen von \(R\) an der Position \(h\):

c)

../../../../_images/1.4.2.M_c.png — Gegebene *Symbole* bzw. *Größen*:

\[\left(a, q_1, q_2 \right) = \left(1 \,\mathrm{m}, 1\, \frac{\mathrm N}{\mathrm m}, 3\, \frac{\mathrm N}{\mathrm m} \right)\]

Lösung

Methode „Integration“

Definition von \(x\) und Berechnung von \(q(x)\):

Stichwort: Geradengleichung. Überprüfung der Funktion über Wertetabelle:

Position

\(x\)

\(\tfrac x a\)

\(q(x)\)

links

\(0\)

\(0\)

\(q_1\)

Mitte

\(\tfrac 1 2 a\)

\(\tfrac 1 2\)

\(\tfrac12 \left( q_1 + q_2 \right)\)

rechts

\(a\)

\(1\)

\(q_2\)
\(R\) aus Kraft-Gleichheits-Bedingung:

Integration:

\[\begin{split}R &= \int_{x=0}^a q(x) \, {\mathsf d} x \\ &= \int_{x=0}^a q_1 + (q_2 - q_1)\left( \tfrac x a \right) \, {\mathsf d} x \\ &= q_1 a + \frac{q_2 - q_1}{2a}a^2 \\ &= q_1 a + \frac{q_2 - q_1}{2}a \\ &= \tfrac 12 (q_1 + q_2) a\end{split}\]

Einsetzen der gegebenen Größen liefert:

\[\begin{split}R &= \tfrac 12 (q_1 + q_2) a \\ &= 2\,\mathrm{N}\end{split}\]
\(h\) aus Moment-Gleichheits-Bedingung:

Integration:

\[\begin{split}h R &= \int_{x=0}^a x q(x) \, {\mathsf d} x \\ &= \int_{x=0}^a x q_1 + \frac{q_2 - q_1}{a}x^2 \, {\mathsf d} x \\ &= \tfrac 1 2 q_1 a^2 + \frac{q_2 - q_1}{3a}a^3 \\ &= \tfrac 1 2 q_1 a^2 + \frac{q_2 - q_1}{3}a^2 \\ &= \tfrac 1 6 q_1 a^2 + \tfrac 2 6 q_2 a^2\end{split}\]

Auflösen nach \(h\) und Einsetzen des berechneten \(R\)

\[\begin{split}h &= \frac{\tfrac 1 6 q_1 a^2 + \tfrac 2 6 q_2 a^2}{R} \\ &= \frac{\tfrac 1 6 q_1 a^2 + \tfrac 2 6 q_2 a^2}{\tfrac 12 (q_1 + q_2) a} \\ &= \frac{\tfrac 1 6 q_1 a + \tfrac 2 6 q_2 a}{\tfrac 12 (q_1 + q_2)} \\ &= \tfrac 1 3 a \frac{q_{1} + 2 q_{2}}{q_{1} + q_{2}}\end{split}\]

Einsetzen der gegebenen Größen liefert:

\[h = \frac{7}{12}\,\mathrm{m}\]
Zeichnen von \(R\) an der Position \(h\): \(h\) kann nur abhängig von \(q_1\) und \(q_2\) angegeben werden. Darum lässt sich die Position der Resultierenden nicht für die gegebenen Symbole zeichnen, sondern nur für die gegebenen Größen:

d)

../../../../_images/1.4.2.M_d.png — Gegebene *Symbole* bzw. *Größen*

\[\left(a, q_0 \right) = \left(1 \,\mathrm{m}, 1\, \frac{\mathrm N}{\mathrm m} \right)\]

Lösung

Methode „Integration“

Definition von \(x\) und Berechnung von \(q(x)\):

\[\begin{split}q_1(x) &= 3 q_0 - 2 q_0 \left( \tfrac{x}{\tfrac a 2} \right) \\ q_2(x) &= q_0\end{split}\]
\(R\) aus Kraft-Gleichheits-Bedingung:

\[\begin{split}R &= \int_{x=0}^a q(x) \, {\mathsf d} x \\ &= \dots \\ &= \frac 3 2 q_0 a\end{split}\]
\(h\) aus Moment-Gleichheits-Bedingung:

\[\begin{split}h R &= \int_{x=0}^a x q(x) \, {\mathsf d} x \\ &= \dots \\\end{split}\]

Auflösen nach \(h\) und Einsetzen des berechneten \(R\) liefert:

\[h = \frac{7}{18} a\]
Zeichnen von \(R\) an der Position \(h\):

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, integrate

# Units:
N = kg * m / s**2
k, M, G = 10**3, 10**6, 10**9
kN = k * N
Pa = N / m**2
MPa, GPa = M * Pa, G * Pa
deg = pi / 180
half = S(1) / 2


# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits=pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp


# Printing:
def printout(x, unit=1, prec="nil", sub_list=[]):
    x = x.subs(sub_list)
    x /= unit
    try:
        x = x.applyfunc(simplify)
    except:
        tmp = x.simplify()
        if tmp != None:
            x = tmp
    if prec != "nil":
        x = iso_round(x, prec)
    pprint(x)
    return


a, q0, q1, q2 = symbols("a, q0, q1, q2")

sub_list = [
    (a, 7 * m),
    (q0, 1 * N / m),
    (q1, 1 * N / m),
    (q2, 3 * N / m),
]

x = symbols("x")


prec = "nil"
prec = 1

pprint("\nCase:")
case = "a)"
case = "b)"
case = "c)"

pprint(case)

if case == "a)":
    q = q0
elif case == "b)":
    q = q0 * (1 - x / a)
elif case == "c)":
    q = q1 + (q2 - q1) * x / a

pprint("\nq:")
pprint(q)

pprint("\nR:")
R = integrate(q, (x, 0, a))
printout(R)

pprint("\nR / N:")
printout(R, unit=N, prec=prec, sub_list=sub_list)

pprint("\nh:")
hR = integrate(x * q, (x, 0, a))
h = hR / R
printout(h)

pprint("\nh / m:")
printout(h, unit=m, prec=prec, sub_list=sub_list)

pprint("\nd)")
pprint("\nR:")
f1 = 3 * q0 - 2 * q0 * (x / (a / 2))
f2 = q0
R1 = integrate(f1, (x, 0, a / 2))
R2 = integrate(f2, (x, a / 2, a))
R = R1 + R2
printout(R)

pprint("\nh:")
M1 = integrate(x * f1, (x, 0, a / 2))
M2 = integrate(x * f2, (x, a / 2, a))
h = (M1 + M2) / R
printout(h)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.

Position	\(x\)	\(\tfrac x a\)	\(q(x)\)
links	\(0\)	\(0\)	\(q_1\)
Mitte	\(\tfrac 1 2 a\)	\(\tfrac 1 2\)	\(\tfrac12 \left( q_1 + q_2 \right)\)
rechts	\(a\)	\(1\)	\(q_2\)