1.5.A

Gegeben

Symbole:

\[F, q, a\]

Größen:

\[\begin{split}F &= 100 \,\mathrm{N} \\ q &= 24 \, \tfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}} \\ a &= 3 \,\mathrm{m}\end{split}\]

Und abhängig hiervon:

\[b = \tfrac 4 3 a\]

a) Geometrie

Für die gegebenen Symbole: Berechnen Sie:

\[\begin{split}c &= \ldots \\ \cos\alpha &= \ldots \\ \sin\alpha &= \ldots\end{split}\]

Lösung

\[c = \sqrt{a^2 + b^2}\]

Und mit diesem \(c\):

\[\begin{split}\cos\alpha &= \tfrac b c \\ \sin\alpha &= \tfrac a c\end{split}\]

b) Freikörperbild

Berechnen Sie die Resultierende der verteilten Kraft.
Schneiden Sie an den Lagern frei, sodass die Lagerreaktionen sichtbar werden.
Zeichnen Sie den Balken (ohne Lager) in einem Freikörperbild.

Lösung

c) Lagerreaktionen

Für die gegebenen Größen: Berechnen Sie alle Lagerreaktionen.

Lösung

Lösung des Linearen Gleichungssystems:

\[\begin{split}A_h &= 0 \,\mathrm{N} \\ A_v &= 100 \,\mathrm{N} \\ B &= 120 \,\mathrm{N}\end{split}\]

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, sqrt, Eq, solve

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# Printing:
def printout(x, unit=1, prec="nil", sub_list=[]):
    x = x.subs(sub_list)
    x /= unit
    try: 
        x = x.applyfunc(simplify)
    except:
        tmp = x.simplify()
        if tmp != None:
            x = tmp
    if prec != "nil":
        x = iso_round(x, prec)
    pprint(x)
    return
        
# ---

F, q = symbols("F, q")
a = symbols("a", positive=True)

sub_list=[
    ( F, 100  *N   ),
    ( q, 24   *N/m ),
    ( a, 3    *m   ),
    ]

b = 4*a/3
c = sqrt(a**2 + b**2)

pprint("\nR:")
R = c*q
printout(R)

pprint("\nR / N:")
printout(R, unit=N, prec="nil", sub_list=sub_list)

# Unknowns:
Ah, Av, B = symbols("Ah, Av, B")

pprint("\nca, sa:")
ca, sa = b/c, a/c
pprint(ca)
pprint(sa)

eq1 = Eq(0, Ah + B*sa - R*sa)
eq2 = Eq(0, F - Av - B*ca + R*ca)
eq3 = Eq(0, c*B - c/2*R + a*F - 2*a*Av)

# Solve for unknowns:
eqns = [eq1, eq2, eq3]
unks = [Ah, Av, B]
sol = solve(eqns, unks)
pprint(sol)
Ah = sol[Ah]
Av = sol[Av]
B = sol[B]

pprint("\n(Ah, Av, B) / N:")
for R in [Ah, Av, B]:
    printout(R, unit=N, sub_list=sub_list)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.