1.5.B

Gegeben

Symbole: \(\alpha, a, F, q\)

Berechnen Sie die Lagerreaktionen. Gehen Sie wie folgt vor.

a) Freikörperbilder

Schneiden Sie frei an den Lagern und am Gelenk G, sodass zwei Teilsysteme entstehen.

Lösung

b) Resultierende

Für die gegebenen Symbole: Berechnen den Betrag der Resultierenden der verteilten Kraft. Und zeigen Sie die Position Wirkungslinie der Resultierenden.

Lösung

\[\begin{split}R &= \tfrac12 3a q \\ &=\tfrac32 qa\end{split}\]

Die Wirkungslinie ist im nächsten Aufgabenteil gezeigt.

c) Lagerreaktionen

Lösung

Lösung:

\[\begin{split}A_{h} &= - F c_\alpha \\ A_{v} &= \tfrac{F s_\alpha}{2} \\ B_{v} &= \tfrac{5 F s_\alpha}{8} + \tfrac{3 a q}{8} \\ C_{v} &= - \tfrac{F s_\alpha}{8} + \tfrac{9 a q}{8} \\ G_{h} &= 0 \\ G_{v} &= \tfrac{F s_\alpha}{2}\end{split}\]

d) Ergebnisse für gegebene Größen

Berechnen Sie Lagerreaktionen und Gelenkkräfte für folgende Größen:

\[\alpha = 90^\circ \qquad a = 3 \,\mathrm{m} \qquad F = 2 \,\mathrm{N} \qquad q = 2 \tfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}\]

Lösung

\[\begin{split}A_{h} &= 0 \,\mathrm{N} \\ A_{v} &= 1 \,\mathrm{N} \\ B_{v} &= \tfrac{7}{2} \,\mathrm{N} = 3{,}5 \,\mathrm{N} \\ C_{v} &= \tfrac{13}{2} \,\mathrm{N} = 6{,}5 \,\mathrm{N} \\ G_{h} &= 0 \,\mathrm{N} \\ G_{v} &= 1 \,\mathrm{N} \\\end{split}\]

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, Eq, solve

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# Printing:
def printout(x, unit=1, prec="nil", sub_list=[]):
    x = x.subs(sub_list)
    x /= unit
    try: 
        x = x.applyfunc(simplify)
    except:
        tmp = x.simplify()
        if tmp != None:
            x = tmp
    if prec != "nil":
        x = iso_round(x, prec)
    pprint(x)
    return

def printout_sol(sol, unit=1, unit_str=None, prec="nil", sub_list=[]):
    for s in sol:
        if unit_str:
            print("\n"+str(s) + " / " + unit_str + ":")
        else:
            print("\n"+str(s) + ":")

        x = sol[s]
        x = x.subs(sub_list)
        x /= unit
        try: 
            x = x.applyfunc(simplify)
        except:
            x = x.simplify()
        if prec != "nil":
            x = iso_round(x, prec)
        pprint(x)
    return

a, F, alpha, q = symbols("a, F, alpha, q")

sub_list=[
    ( alpha , 90 *deg ),
    ( a     , 3  *m   ),
    ( F     , 2  *N   ),
    ( q     , 2  *N/m ),
    ]

R = S(3)/2*a*q

Ah, Av, Bv, Cv, Gh, Gv = symbols("Ah, Av, Bv, Cv, Gh, Gv")
unks = [Ah, Av, Bv, Cv, Gh, Gv]

# Shortcuts:
ca, sa = cos(alpha), sin(alpha)

# Equilibrium conditions:
eq1 = Eq(0, Ah + F*ca - Gh)
eq2 = Eq(0, Av + Gv - F*sa)
eq3 = Eq(0, 2*a*Gv - a*F*sa)

eq4 = Eq(0, Gh)
eq5 = Eq(0, Bv + Cv - R - Gv)
eq6 = Eq(0, a*Bv + 5*a*Cv - 4*a*R)

# Solve linear system:
eqms = [eq1, eq2, eq3, eq4, eq5, eq6]
sol = solve(eqms, unks)

printout_sol(sol, unit=N, unit_str="N", prec="nil", sub_list=sub_list)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.