1.5.E

Gegeben

Symbole: \(a, F\)

a) Lagerreaktionen und Gelenkkräfte

Berechnen Sie die Auflager- und Gelenkkräfte, und zwar ohne Ausnutzung der Symmetrie.

Lösung

Lösung:

\[\begin{split}A_h &= 2 F \\ A_v &= \tfrac{3 F}{2} \\ B_h &= 2 F \\ B_v &= \tfrac{3 F}{2} \\ C_h &= 2 F \\ C_v &= \tfrac{F}{2}\end{split}\]

Bemerkung

Die Gelenkkraft \(C_v\) ist davon abhängig, wo genau die Kraft \(F\) wirkt.
Hier ist angenommen, dass \(F\) am dem Gelenkteil wirkt, der zur linken Hälfte gehört.
Hier kann stattdessen auch angenommen werden, dass \(F\) am dem Gelenkteil wirkt, der zur rechten Hälfte gehört.
Und es ist stattdessen auch möglich, jeweils \(\tfrac 1 2 F\) die linke und die rechte Hälfte aufzubringen.

b) Symmetrie

Berechnen Sie die Auflager- und Gelenkkräfte mit Ausnutzung der Symmetrie.

Lösung

Lösung wie vorher:

\[\begin{split}A_h &= 2 F \\ A_v &= \tfrac 3 2 F \\ C_h &= 2 F\end{split}\]

Bemerkung

Wegen der Symmetrie verteile ich die äußere Kraft \(F\) zu gleichen Anteilen auf die linke und rechte Hälfte.
Die Kraft \(C_v\) muss das Prinzip Actio = Reactio erfüllen und darf außerdem die Symmetrie nicht zerstören, sodass \(C_v = 0\) ist.

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy import symbols, Eq, solve, pprint
a, F = symbols("a, F")

Ah, Av, Bh, Bv, Ch, Cv = symbols("Ah, Av, Bh, Bv, Ch, Cv")

pprint("\nFor F acting on the left subsystem:")
eq1 = Eq(0, Ah - Ch)
eq2 = Eq(0, Av + Cv - 2*F )
eq3 = Eq(0, a*F + 2*a*F - 2*a*Cv - a*Ch)

eq4 = Eq(0, Ch - Bh)
eq5 = Eq(0, Bv - F - Cv)
eq6 = Eq(0, a*F + 2*a*Cv - a*Ch)

eqns = [eq1,eq2,eq3,eq4,eq5,eq6]
sol = solve(eqns, [Ah, Av, Bh, Bv, Ch, Cv])
pprint(sol)

pprint("\nFor F acting on the right subsystem:")
eq1 = Eq(0, Ah - Ch)
eq2 = Eq(0, Av + Cv - F )
eq3 = Eq(0, a*F - 2*a*Cv - a*Ch)

eq4 = Eq(0, Ch - Bh)
eq5 = Eq(0, Bv - 2*F - Cv)
eq6 = Eq(0, a*F + 2*a*F + 2*a*Cv - a*Ch)

eqns = [eq1,eq2,eq3,eq4,eq5,eq6]
sol = solve(eqns, [Ah, Av, Bh, Bv, Ch, Cv])
pprint(sol)

pprint("\nUsing symmetry:")
eq1 = Eq(0, Ah - Ch)
eq2 = Eq(0, Av - 3*F/2)
eq3 = Eq(0, - a*F - 2*a*F/2 + a*Ch )

eqns = [eq1,eq2,eq3]
sol = solve(eqns, [Ah, Av, Ch])
pprint(sol)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.