1.5.J

Ähnliche Aufgabe

Aufgabe 3.10 aus Gross et al. [GEW08]

Gegeben

Symbole:

\[a, F, q\]

Berechnen Sie die Stabkraft und das Einspann-Moment bei A. Gehen Sie wie folgt vor.

a) Freikörperbild

Zeichnen Sie ein Freikörperbild für den Verbund A-B-C aus den beiden Balken. Schneiden Sie dazu an zwei Stellen:

An der Einspannstelle bei A ist die Wand mit dem Balken verbunden. Schneiden Sie dort zwischen Wand und Balken.
Am Gelenk bei C ist die der Balken mit dem Stab verbunden. Schneiden Sie durch das Gelenk zwischen Balken und Stab.

Lösung

b) Gleichgewichtsbedingungen

Seien die Resultierenden der verteilten Kräfte definiert als:

\(R_1\): Resultierende der verteilten Kraft zwischen A und B und
\(R_2\): Resultierende der verteilten Kraft zwischen B und C.

Für die gegebenen Symbole: Berechnen Sie \(R_1\) und \(R_2\) und zeigen Sie die Position der Wirkungslinien dieser Resultierenden.

Geben Sie drei Gleichgewichtsbedingungen an, die für den freigeschnittenen Balkenverbund A-B-C gelten. Zeigen Sie, dass Sie 3 Gleichungen für 4 Unbekannte erhalten.

Lösung

../../../_images/1.5.J_2.png — 3 Gleichgewichtsbedingungen zur Berechnung der 4 Unbekannten \(A_h, A_v, M_A, S\).

c) Weiteres Freikörperbild

Sie benötigen eine weitere Aussage, um die vier Unbekannten zu berechnen. Schneiden Sie dazu den Balken B-C frei. Und geben Sie für diesen Körper eine neue Gleichgewichtsbedingung an. Und zwar so, dass Sie vier Aussagen bekommen für 4 Unbekannte: Nämlich für die 3 Lagerreaktionen und die Stabkraft.

Lösung

../../../_images/1.5.J_3.png — Zusätzliche Gleichung zur Berechnung der 4 Unbekannten \(A_h, A_v, M_A, S\).

d) Lösung

Für die gegebenen Symbole: Lösen Sie das Lineare Gleichungssystem, und berechnen Sie die 4 Unbekannten.

Lösung

\[\begin{split}A_{h} &= - \tfrac{4}{3} F - \tfrac{2}{3} a q \\ A_{v} &= \tfrac{7}{2} aq \\ S &= - \tfrac{5}{3} F - \tfrac{5}{6} a q \\ M_{A} &= - 6 a^{2} q\end{split}\]

e) Ergebnisse für gegebene Größen

Berechnen Sie:

die Lagerreaktionen bei A und die Stabkraft in \(\mathrm{N}\) (Newton) gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01\)
das Einspann-Moment bei A in \(\mathrm{Nm}\) (Newtonmeter) gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01\)

für die Größen:

\[a= 1\,\mathrm{m} \qquad F= 2\,\mathrm{N} \qquad q= 1\tfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}\]

Lösung

\[\begin{split}A_{h} &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} -3{,}33 \,\mathrm{N} \\ A_{v} &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 3{,}50 \,\mathrm{N} \\ S &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} -4{,}17 \,\mathrm{N} \\ M_{A} &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} - 6{,}00 \,\mathrm{Nm}\end{split}\]

Hinweis

Es gilt das Gleichheitszeichen bei:

\[\begin{split}A_{v} &= 3{,}5 \,\mathrm{N} \\ M_{A} &= - 6 \,\mathrm{Nm}\end{split}\]

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, Eq, solve

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# Printing:
def printout(x, unit=1, prec="nil", sub_list=[]):
    x = x.subs(sub_list)
    x /= unit
    try: 
        x = x.applyfunc(simplify)
    except:
        tmp = x.simplify()
        if tmp != None:
            x = tmp
    if prec != "nil":
        x = iso_round(x, prec)
    pprint(x)
    return

def printout_sol(sol, unit=1, unit_str=None, prec="nil", sub_list=[]):
    for s in sol:
        if unit_str:
            print("\n"+str(s) + " / " + unit_str + ":")
        else:
            print("\n"+str(s) + ":")

        x = sol[s]
        x = x.subs(sub_list)
        x /= unit
        try: 
            x = x.applyfunc(simplify)
        except:
            x = x.simplify()
        if prec != "nil":
            x = iso_round(x, prec)
        pprint(x)
    return

# ---

a, F, q = symbols("a, F, q")

sub_list=[
    ( a , 1 *m   ),
    ( F , 2 *N   ),
    ( q , 1 *N/m ),
    ]

R1 = 3*a*q
R2 = a*q

ca, sa = S(4)/5, S(3)/5

Ah, Av, S, MA = symbols("Ah, Av, S, MA")

# Equilibrium conditions:
eq1 = Eq( 0,  Ah - S * ca)
eq2 = Eq( 0, -Av + S * sa + F + R1 + R2)
eq3 = Eq( 0,  MA + 3*a*R1/2 + 7*a*R2/2 + 4*a*(F+S*sa) )
eq4 = Eq( 0,  a*R2/2 + a*(F+S*sa) )

sol = solve([eq1, eq2, eq3, eq4], [Ah, Av, S, MA])

printout_sol(sol)
printout_sol(sol, unit=N, unit_str="N", prec="nil", sub_list=sub_list)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.