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1.5.K

aus Gross et al. [GEW08] Aufgabe 5.14

Video

Gegeben

Symbole: \(a, F, q\)

Berechnen Sie die Lagerreaktionen bei A und B und die Kräfte im Gelenk G. Gehen Sie wie folgt vor.

a) Freischneiden

Schneiden Sie:

bei G durch das Gelenk, an der Grenze zwischen linkem und rechtem Balken
bei A, an der Grenze zwischen linkem Balken und Lager bei A
bei B, an der Grenze zwischen rechtem Balken und Lager bei B

Zeichnen Sie zwei Freikörperbilder: Eins für den Balken links - und eins für den Balken rechts.

Lösung

b) Resultierende und Gleichgewichtsbedingungen

Berechnen Sie die Resultierende der verteilten Kraft. Und geben Sie für beide Körper drei Gleichgewichtsbedingungen an. Nummerieren Sie die Gleichungen, und zählen Sie die Unbekannten. Zeigen Sie, dass Sie 6 Gleichungen für 6 Unbekannte haben.

Lösung

c) Lösen des Gleichungssystems

Lösen Sie das Lineare Gleichungssystem bestehend aus 6 Gleichungen für 6 Unbekannte. Berechnen Sie die 6 Unbekannten für die gegebenen Symbole.

Lösung

Lösung für die 6 Unbekannten \(A_h, A_v, M_A, B_v, G_h, G_v\):

\begin{align*} A_{h} &= 0 \\ A_{v} &= - F \\ B_{v} &= 2 F + 2 a q \\ G_{h} &= 0 \\ G_{v} &= F \\ M_A &= F a \end{align*}

d) Lösung für gegebene Größen

Berechnen Sie alle Lagerreaktionen und die Gelenkkräfte für die Größen:

\[\begin{split}a&= 1\,\mathrm{m}\\ F&= 1\,\mathrm{N}\\ q&= 1\,\tfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}\end{split}\]

Lösung

\[\begin{split}A_{h} &= 0 \\ A_{v} &= -1 \, \mathrm{N} \\ B_{v} &= 4 \, \mathrm{N} \\ G_{h} &= 0 \\ G_{v} &= 1 \, \mathrm{N} \\ M_A &= 1 \, \mathrm{Nm}\end{split}\]

e) Nur Lagerreaktionen

Zeigen Sie eine Möglichkeit, mit geeigneten Freischnitten und Gleichgewichtsbedingungen die Lagerreaktionen zu berechnen, ohne die Gelenkkräfte berechnen zu müssen.

Lösung

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, Eq, solve
from operator import itemgetter

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# Printing:
def print_dict(sol, unit=1, unit_str=None, prec="nil", sub_list=[]):
    # Sorting:
    tmp = {str(k): v for k, v in sol.items()}
    tmp = sorted(tmp.items())
    for k, v in tmp:
        if unit_str:
            print("\n"+str(k) + " / " + unit_str + ":")
        else:
            print("\n"+str(k) + ":")
        v = v.subs(sub_list)
        v /= unit
        try: 
            v = v.applyfunc(simplify)
        except:
            v = v.simplify()
        if prec != "nil":
            v = iso_round(v, prec)
        pprint(v)

a, F, q = symbols("a, F, q")

sub_list=[
    ( a, 1 *m   ),
    ( F, 1 *N   ),
    ( q, 1 *N/m ),
    ]

pprint("Solution 1:")
# 6 Unknowns:
Ah,Av,Bv,Gh,Gv,MA = symbols("Ah,Av,Bv,Gh,Gv,MA")
unks = [Ah,Av,Bv,Gh,Gv,MA]

# 6 Equations / Equilibrium Conditions:
R = 2*a*q
eq1 = Eq(  Gh, 0                   )
eq2 = Eq(  - Bv + F + Gv + R, 0    )
eq3 = Eq(  2*a*F + a*(-Bv + R), 0  )
eq4 = Eq(  Ah + Gh, 0              )
eq5 = Eq(  Av + Gv , 0             )
eq6 = Eq(  Gv*a - MA, 0            )

eqns = [eq1, eq2, eq3, eq4, eq5, eq6]

sol = solve(eqns, unks)
print(sol)
print_dict(sol, unit=N, unit_str="N", prec="nil", sub_list=sub_list)

pprint("\nSolution 2:")
# 4 Unknowns:
Ah, Av, Bv, MA= symbols("Ah, Av, Bv, MA")
unks = [Ah, Av, Bv, MA]

# 4 Equations:
eq1 = Eq(  2*F*a + a*(-Bv + R), 0       )
eq2 = Eq(  Ah, 0                        )
eq3 = Eq(  Av + Bv - R - F, 0           )
eq4 = Eq(  2*a*Bv -2*a*R -3*a*F - MA, 0 )

eqns = [eq1, eq2, eq3, eq4]

sol = solve(eqns, unks)
print(sol)
print_dict(sol, unit=N, unit_str="N", prec="nil", sub_list=sub_list)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.