1.6.B

Gegeben

Symbole:

\[a, F\]

Größen:

\[\begin{split}a &= 2 \,\mathrm{m}\\ F &= 1 \,\mathrm{N}\end{split}\]

Berechnen Sie die Lagerreaktionen und die Stabkräfte. Gehen Sie wie folgt vor.

a) Geometrie

Berechnen Sie \(\alpha, \beta, \gamma\). Und zeigen Sie, dass \(h = a \tfrac{\sqrt3}{2}.\)

Lösung

Aus der Skizze:

\[\left( \alpha, \beta, \gamma \right) = \left( 60^\circ, 120^\circ, 30^\circ \right)\]

\begin{align*} h \tan \tfrac \alpha 2 &= \tfrac a 2 \\ h \tfrac{1}{\sqrt{3}} &= \tfrac a 2 \\ h &= a \tfrac{\sqrt{3}}{2} \end{align*}

b) Lagerreaktionen

Berechnen Sie die Lagerreaktionen

für die gegebenen Symbole und
für die gegebenen Größen - und in \(\mathrm{N}\) (Newton) gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01\).

Lösung

Lösung für Symbole und Größen:

\[\begin{split}A_{v} &= - F \left(\sqrt{3} + 3\right) \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} -4{,}73 \,\mathrm{N} \\ B_{h} &= - 2 F \\ &= - 2 \,\mathrm{N} \\ B_{v} &= F \left(\sqrt{3} + 4\right) \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 5{,}73 \,\mathrm{N}\end{split}\]

c) Stäbe 3 und 4

Berechnen Sie die Stabkräfte \(S_3\) und \(S_4\). Und zwar für die gegebenen Größen und in \(\mathrm{N}\) (Newton) gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01\).

Lösung

d) Stäbe 1 und 2

Berechnen Sie die Stabkräfte \(S_1, S_2\) durch Knotenschnitt bei D. Und zwar für die gegebenen Größen und in \(\mathrm{N}\) (Newton) und gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01\).

Lösung

e) Stäbe 5 und 7

Schneiden Sie durch die Stäbe 5, 6 und 7 (Ritterschnitt), und betrachten Sie das untere Teilsystem. Verwenden Sie Moment-Gleichgewichtsbedingungen. Berechnen Sie für die gegebenen Größen - und in \(\mathrm{N}\) (Newton) gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01\):

die Stabkraft \(S_5\) und
die Stabkraft \(S_7\).

Lösung

f) Stab 6

Berechnen Sie \(S_6\) durch Knotenschnitt bei A. Und zwar für die gegebenen Größen und in \(\mathrm{N}\) (Newton) und gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01\).

Lösung

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, Eq, solve, sqrt

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# Printing:
def printout(x, unit=1, prec="nil", sub_list=[]):
    x = x.subs(sub_list)
    x /= unit
    try: 
        x = x.applyfunc(simplify)
    except:
        tmp = x.simplify()
        if tmp != None:
            x = tmp
    if prec != "nil":
        x = iso_round(x, prec)
    pprint(x)
    return

# ---

prec = 2

a, F = symbols("a, F")

sub_list=[
    (a, 2 *m),
    (F, 1 *N),
    ]

# sub_list=[
#     (a, 1 *m),
#     (F, 3 *N),
#     ]

c, s = cos(30 *deg), sin(30 *deg)

Av, Bh, Bv = symbols("Av, Bh, Bv")
h=sqrt(3)*a/2

eq1 = Eq( 0, Bh + 2*F)
eq2 = Eq( 0, Av + Bv - F )
eq3 = Eq( 0, a*Av + (a+h)*2*F + a*F)

eqs = [eq1, eq2, eq3]
sol = solve(eqs, [Av, Bh, Bv])

Av = sol[Av]
Bh = sol[Bh]
Bv = sol[Bv]

pprint("\nAv / N:")
printout(Av, unit=N, prec=prec, sub_list=sub_list)

pprint("\nBh / N:")
printout(Bh, unit=N, prec=prec, sub_list=sub_list)

pprint("\nBv / N:")
printout(Bv, unit=N, prec=prec, sub_list=sub_list)

S1, S2, S3 = symbols("S1, S2, S3")
eq1 = Eq( 0,  S3*c - F )
eq2 = Eq( 0,  S1*s +S2*c +S3*c )
eq3 = Eq( 0, -S1*c -S2*s +S3*s + 2*F)

eqs = [eq1, eq2, eq3]
sol = solve(eqs, [S1, S2, S3])

S1, S2, S3 = sol[S1], sol[S2], sol[S3]
S4 = -F/sqrt(3)
S5 = - Bv
S7 = Bh - Av
S6 = - 2/sqrt(2) * (Av + S7)

pprint("\nS1, S2, ..., S7 / N:")
i = 1
for S in [S1, S2, S3, S4, S5, S6, S7]:
    pprint(i)
    printout(S, unit=N, prec=prec, sub_list=sub_list)
    i+=1
    pprint("\n")

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.