1.6.D

Gegeben

Symbole: \(a, F\)

Berechnen Sie die Lagerreaktionen und die Stabkräfte. Gehen Sie wie folgt vor.

a) Geometrie

Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}c_\alpha &= \tfrac{3}{10}\sqrt{10} \\ s_\alpha &= \tfrac{1}{10}\sqrt{10} \\ c_\beta &= \tfrac{2}{13}\sqrt{13} \\ s_\beta &= \tfrac{3}{13}\sqrt{13}\end{split}\]

Lösung

b) Lagerreaktionen

Berechnen Sie die Lagerreaktionen bei A und B.

Lösung

Lösung:

\[\begin{split}A_h &= - 6 F \\ A_v &= 4 F \\ B_h &= 6 F\end{split}\]

c) Stab 3

Zeigen Sie, dass Stab 3 ein Nullstab ist.

Lösung

d) Stäbe 1 und 2

Berechnen Sie die Stabkräfte \(S_1\) und \(S_2\) der Stäbe 1 und 2.

Lösung

Lösung:

\begin{align} \label{eq-1.6.D-12} S_1 = \sqrt{10} F\tag{1} \\ S_2 = - 3 F \tag{2} \end{align}

e) Stab 4

Berechnen Sie \(S_4\).

Lösung

Damit und mit (2):

\[S_4 = - 3 F\]

f) Stäbe 5 und 6

Berechnen Sie \(S_5\) und \(S_6\)

für die gegebenen Symbole und
für die gegebene Größe \(F = 2\,\mathrm{N}\) gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}001\).

Lösung

Damit und mit (1):

\[\begin{split}S_5 &= -\tfrac 1 2 \sqrt{10} F \\ S_6 &= \tfrac 3 2 \sqrt{10} F\end{split}\]

Für \(F= 2\,\mathrm{N}\):

\[\begin{split}S_5 &= - 1 \sqrt{10} \,\mathrm{N}\\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}001}}{\approx}- 3{,}162 \,\mathrm{N}\\ S_6 &= 3\sqrt{10} \,\mathrm{N} \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}001}}{\approx}9{,}487 \,\mathrm{N}\end{split}\]

g) Stäbe 7, 8, 9, 10, 11

Für die gegebenen Symbole: Berechnen Sie die Stabkräfte \(S_7, S_8, S_9, S_{10}, S_{11}\).

Lösung

Lösung:

\[\begin{split}S_{10} &= 2 \sqrt{10} F \\ S_{11} &= F \\ \\ S_{8} &= - \tfrac{9}{2} F \\ S_{9} &= - \tfrac{\sqrt{13}}{2}F \\ \\ S_{7} &= \tfrac12 F\end{split}\]

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, Eq, solve, sqrt

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2

# ---

a, F = symbols('a, F')

sub_list=[
    ( a, 1 *m ),
    ( F, 2 *N ),
]
print("\nReaction forces:")

Av, Ah, Bh = symbols("A_v, A_h, B_h")

eq1 = Eq(0, Ah + Bh)
eq2 = Eq(0, Av - 4*F)
eq3 = Eq(0, a*Bh -a*F -2*a*F -3*a*F)

eqs = [eq1, eq2, eq3]
sol = solve(eqs, [Ah, Av, Bh])
(Ah, Av, Bh) = (sol[Ah], sol[Av], sol[Bh])
pprint(sol)

pprint("\nS1, S2:")
ca = 3/sqrt(10)
sa = 1/sqrt(10)

S1, S2 = symbols("S1, S2")
eq1 = Eq(0, S1*ca + S2)
eq2 = Eq(0, S1*sa - F)
eqs = [eq1, eq2]
sol = solve(eqs, [S1, S2])
S1=sol[S1]
pprint(sol)

pprint("\nS5, S6:")
S5, S6 = symbols("S5, S6")
eq1 = Eq(0, S1*ca - S6*ca - S5*ca)
eq2 = Eq(0, S1*sa + S5*sa - S6*sa + F)
eqs = [eq1, eq2]
sol = solve(eqs, [S5, S6])
pprint(sol)

S5 = sol[S5]
S6 = sol[S6]

S7, S8, S9, S10, S11 = symbols("S7, S8, S9, S10, S11")

pprint("\nS10:")
eq = Eq(0, S10*ca + Ah)
S10 = solve(eq,S10)[0]
pprint(S10)

pprint("\nS11:")
eq = Eq(0, F + S11 + S10*sa - Av)
S11 = solve(eq,S11)[0]
pprint(S11)

cb = 2/sqrt(13)
sb = 3/sqrt(13)

pprint("\nS9:")
eq = Eq(0, S11 + S9*cb)
S9 = solve(eq,S9)[0]
pprint(S9)

pprint("\nS8:")
eq = Eq(0, Bh + S8 + S9*sb)
S8 = solve(eq,S8)[0]
pprint(S8)

pprint("\nS7:")
eq = Eq(0, F + S7 - S10*sa + S6*sa + S9*cb)
S7 = solve(eq,S7)[0]
pprint(S7)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.