1.6.E

Gegeben

Symbole:

\[a, F\]

Berechnen Sie die Stabkräfte \(S_1, S_2, S_3\). Gehen Sie wie folgt vor:

a) Geometrie

Berechnen Sie die Länge \(l_1\) des Stabs 1. Zeigen Sie, dass:

\[l_1 = \tfrac{\sqrt{10}}{3}a\]

Lösung

\[\begin{split}l_1 &= \sqrt{ \left\{\tfrac 1 3 a \right\}^2 + a^2 } \\ &= \sqrt{\tfrac{10}{9} a^2 } \\ &= \tfrac{\sqrt{10}}{3}a\end{split}\]

b) Kosinus und Sinus

Berechnen Sie Kosinus und Sinus der Winkel \(\alpha\) und \(\beta\). Zeigen Sie, dass:

\begin{align*} \cos\alpha &= \tfrac{3}{10} \sqrt{10} & \cos\beta &= \tfrac{1}{2} \sqrt{2} \\ \sin \alpha &= \tfrac{1}{10} \sqrt{10} & \sin \beta &= \tfrac{1}{2} \sqrt{2}\\ \end{align*}

Lösung

\[\begin{split}c_\alpha &= \tfrac{a}{l_1} = \tfrac{a}{\tfrac{\sqrt{10}}{3}a} = \tfrac{3}{10} \sqrt{10} \\ s_\alpha &= \tfrac{\tfrac 1 3 a}{\tfrac{\sqrt{10}}{3}a} = \tfrac{1}{\sqrt{10}} = \tfrac{1}{10} \sqrt{10} \\ c_\beta &= \cos{45^\circ} = \tfrac{a}{\sqrt{2}a} = \tfrac{1}{2} \sqrt{2} \\ s_\beta &= \sin{45^\circ} = \tfrac{1}{\sqrt{2}} = \tfrac{1}{2} \sqrt{2}\end{split}\]

c) Ritterschnitt

Schneiden Sie durch die drei Stäbe 1, 2, 3 (Ritterschnitt), sodass die Stabkräfte \(S_1, S_2, S_3\) sichtbar werden.
Schließen Sie den Schnitt nach rechts, und betrachten Sie das rechte Teilsystem, sodass Sie die Lagerreaktionen nicht berechnen müssen.
Geben Sie drei Gleichgewichtsbedingungen an. Und berechnen Sie damit \(S_1, S_2, S_3\).
Runden Sie auf Rundestellenwert \(0{,}01\). Zeigen Sie, dass:

\[S_1 \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 3{,}16 F \qquad S_2 \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 1{,}06 F \qquad S_3 \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} -3{,}95 F\]

Lösung

Lösung:

\[\begin{split}S_1 &= \sqrt{10} F \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 3{,}16 F \\ S_2 &= \tfrac{3}{4} \sqrt{2}F \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 1{,}06 F \\ S_3 &= - \tfrac{5}{4} \sqrt{10} F \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} -3{,}95 F\end{split}\]

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, sqrt, Eq, solve

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# Printing:
def printout(x, unit=1, prec="nil", sub_list=[]):
    x = x.subs(sub_list)
    x /= unit
    try: 
        x = x.applyfunc(simplify)
    except:
        tmp = x.simplify()
        if tmp != None:
            x = tmp
    if prec != "nil":
        x = iso_round(x, prec)
    pprint(x)
    return

def printout_sol(sol, unit=1, unit_str=None, prec="nil", sub_list=[]):
    for s in sol:
        if unit_str:
            print("\n"+str(s) + " / " + unit_str + ":")
        else:
            print("\n"+str(s) + ":")

        x = sol[s]
        x = x.subs(sub_list)
        x /= unit
        try: 
            x = x.applyfunc(simplify)
        except:
            x = x.simplify()
        if prec != "nil":
            x = iso_round(x, prec)
        pprint(x)
    return

def print_dict(sol, unit=1, unit_str=None, prec="nil", sub_list=[]):
    # Sort:
    tmp = {str(k): v for k, v in sol.items()}
    tmp = sorted(tmp.items())
    for k, v in tmp:
        if unit_str:
            print("\n"+str(k) + " / " + unit_str + ":")
        else:
            print("\n"+str(k) + ":")
        v = v.subs(sub_list)
        v /= unit
        try: 
            v = v.applyfunc(simplify)
        except:
            v = v.simplify()
        if prec != "nil":
            v = iso_round(v, prec)
        pprint(v)

# ---

a = symbols("a", positive=True)
F = symbols("F")

print("\nl1 / a:")
k1 = a
k2 = a/3

l1 = sqrt(k1*k1 + k2*k2)
pprint(l1)
tmp = l1/a
tmp = iso_round(tmp, 2)
pprint(tmp)

pprint("\ncos(a), sin(a), cos(b), sin(b):")
ca = k1 / l1
sa = k2 / l1
cb = cos(45*deg)
sb = sin(45*deg)
for x in [ca, sa, cb, sb]:
    pprint(x)

S1, S2, S3 = symbols("S1, S2, S3")
unknowns = [S1, S2, S3]

# shortcuts:
s10 = sqrt(10)
third = S(1)/3
s22 = sqrt(2)/2

eq1 = Eq(0, 2*a/3*S1*ca - 2*a*F)
eq2 = Eq(0, S1*ca + S3*ca + S2*sb)
eq3 = Eq(0, 3*F - S2*cb - S1*sa + S3*sa)

# solve linear system:
eqs = [eq1, eq2, eq3]
sol = solve(eqs, unknowns)
pprint(sol)
print_dict(sol, unit=F, unit_str="F", prec=2, sub_list=[])

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.