1.6.F

Gegeben

Symbole: \(0 < \alpha < 90^\circ, a, F\)

Berechnen Sie die Lagerreaktionen und Stabkräfte. Gehen Sie wie folgt vor:

a) Lagerreaktionen

Berechnen Sie die Lagerreaktionen bei A und B.

Lösung

Lösung:

\[\begin{split}A_h &= 0 \\ A_v &= \tfrac{5 F}{2} \\ B_v &= \tfrac{5 F}{2}\end{split}\]

b) Stäbe 1 und 2

Berechnen Sie die Stabkräfte \(S_1, S_2\) mit einem Knotenschnitt.

Lösung

Lösung:

\[\begin{split}S_{1} &= - \tfrac{3 F}{2 s_\alpha} \\ S_{2} &= - \tfrac{3 F}{2 s_\alpha}\end{split}\]

c) Stäbe 4 und 10

Berechnen Sie \(S_4, S_{10}\) durch Knotenschnitt bei A.

Lösung

Lösung:

\[\begin{split}S_{4} &= - \tfrac{5 F}{2 s_{\alpha}} \\ S_{10} &= \tfrac{5 F}{2 t_{\alpha}}\end{split}\]

d) Stäbe 5 und 11

Bestimmen Sie \(S_5, S_{11}\).

Lösung

Man sieht, dass:

\[\begin{split}S_5 &= 0 \\ S_{11} &= S_{10} \\ &= \tfrac{5 F}{2 t_{\alpha}}\end{split}\]

e) Stäbe 3 und 6

Berechnen Sie \(S_3, S_6\) durch Knotenschnitt.

Lösung

Lösung:

\[\begin{split}S_{3} &= - \tfrac{F}{t_\alpha} \\ S_{6} &= 0\end{split}\]

f) Symmetrie

Begründen Sie, warum gegenüber liegende Stabkräfte gleich groß sind - warum also:

\[\begin{split}S_{4} &= S_{9} \\ S_{5} &= S_{8} \\ S_{6} &= S_{7} \\ S_{10} &= S_{13} \\ S_{11} &= S_{12}\end{split}\]

Lösung

Last und Struktur symmetrisch.

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy import symbols, pprint, solve, Eq, sin, cos

alpha, a, F = symbols("alpha, a, F")

Ah, Av, Bv = symbols('Ah, Av, Bv')

# Reaction forces:
eqns = [
    Eq( 0, Ah                          ),
    Eq( 0, 4*a*Bv - 3*a*F -6*a*F - a*F ),
    Eq( 0, F + 3*F + F - Av - Bv       ),
    ]

sol = solve(eqns, [Ah, Av, Bv])
pprint("\n")
pprint(sol)

Av = sol[Av]

ca = cos(alpha)
sa = sin(alpha)

S4, S10 = symbols('S4, S10')
unks = [S4, S10]
eq1 = Eq( 0, S4*ca + S10)
eq2 = Eq( 0, S4*sa + Av)
eqns = [eq1, eq2]
sol = solve(eqns, unks)
pprint(sol)

S4=sol[S4]
S1 = -3*F/2/sa

S3, S6 = symbols('S3, S6')
unks = [S3, S6]
eq1 = Eq( 0, S1*ca + S3 + S6*ca - S4*ca)
eq2 = Eq( 0, S1*sa - S6*sa - S4*sa - F )
eqns = [eq1, eq2]
sol = solve(eqns, unks)
pprint(sol)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.