1.6.H

Gegeben

Symbole: \(a, F > 0\)

a) Seilkräfte und Lagerreaktionen

Zeigen Sie, dass folgendes gilt:

Die Zugkraft im unteren Seil ist gleich \(F\).
Die Zugkraft im oberen, schrägen Seil ist gleich \(5 \tfrac{\sqrt 2}{2}F\).

Und berechnen Sie die Lagerreaktionen bei A.

Lösung

Abkürzungen:

\[c_{45} = \cos 45^\circ = \sin 45^\circ\]

Lösung:

\[\begin{split}A_{h} &= \tfrac{7}{2} F \\ A_{v} &= - \tfrac{3}{2} F \\ B &= \tfrac{5\sqrt{2}}{2} F\end{split}\]

b) Stäbe 1 und 2

Berechnen Sie die Stabkräfte \(S_1\) und \(S_2\).

Lösung

Lösung:

\[\begin{split}S_{1} &= - \tfrac{1}{2} F \\ S_{2} &= - \tfrac{3\sqrt{5}}{2} F\end{split}\]

c) Stäbe 3 und 4

Berechnen Sie \(S_3\) und \(S_4\).

Lösung

Lösung:

\[\begin{split}S_{3} &= \tfrac{3}{2}F \\ S_{4} &= \sqrt{5} F\end{split}\]

d) Stab 5

Berechnen Sie \(S_5\).

Lösung

Lösung:

\[S_{5} = - 3 F\]

e) Lagerreaktionen bei A für gegebene Größen

Berechnen Sie die Lagerreaktionen bei A für \(F=1 \,\mathrm{N}.\)

Lösung

\[\begin{split}A_{h} &= 3{,}5 \,\mathrm{N} \\ A_{v} &= - 1{,}5 \,\mathrm{N}\end{split}\]

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, Eq, solve, sqrt

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2

# ---

a, F = symbols("a, F", positive=True)

A_h, A_v, B = symbols('Ah, Av, B')
S1, S2, S3, S4, S5 = symbols('S1, S2, S3, S4, S5')

c45 = cos(45 *deg)

C_h = F
h_F = 2*a + a/4

eqns = [
    Eq( 0, A_h - B*c45 - C_h          ),
    Eq( 0, A_v + B*c45 - F            ),
    Eq( 0, -h_F*F - a/4*C_h + a*B*c45 ),
    ]

unks = [A_h, A_v, B]
sol = solve(eqns, unks)
pprint(sol)

A_h = sol[A_h]
A_v = sol[A_v]
B = sol[B]

ca = 2/sqrt(5)
sa = 1/sqrt(5)

# S2, S2:
eqns = [
    Eq( 0, A_h + S1 + S2*ca ),
    Eq( 0, A_v - S2*sa      ),
]
sol = solve(eqns, [S1, S2])
pprint(sol)
S1 = sol[S1]
S2 = sol[S2]

# S3, S4:
eqns = [
    Eq( 0, S4*ca - S1 - B*c45  ),
    Eq( 0, -S3 - S4*sa + B*c45 ),
    ]
sol = solve(eqns, [S3, S4])
pprint(sol)

# S5:
eqns = [
    Eq(0, S5 - S2*ca),
    ]
sol = solve(eqns, [S5])
pprint(sol)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.