1.6.I

Gegeben

Symbole:

\[a, q\]

Größen:

\[\begin{split}a &= 2 \,\mathrm{m}\\ q &= 1 \, \tfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}\end{split}\]

a) Freikörperbilder

Schneiden Sie frei, sodass alle Lagerreaktionen und die Gelenkkräfte bei G sichtbar werden.

Lösung

b) Gleichgewichtsbedingungen

Geben Sie sechs Gleichgewichtsbedingungen an, aus denen Sie die sechs Unbekannten (Lagerreaktionen und Gelenkkräfte) berechnen können.

Lösung

c) Lagerreaktionen und Gelenkkräfte

Berechnen Sie die gesuchten Lagerreaktionen und Gelenkkräfte - für die gegebenen Symbole.

Lösung

Lösung:

\[\begin{split}A_{v} &= - a q \\ B_{v} &= 2 a q \\ C_{h} &= 0 \\ C_{v} &= a q \\ G_{h} &= 0 \\ G_{v} &= - a q\end{split}\]

d) Stäbe 1 und 2

Berechnen Sie die Kräfte \(S_1\) und \(S_2\) in den Stäben 1 und 2:

für die gegebenen Symbole und
für die gegebenen Größen und gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01\)

Lösung

Damit und mit der bereits bekannten Lagerreaktion \(A_v\):

\[\begin{split}S_{1} &= 2 a q \\ S_{2} &= - \sqrt{3} a q\end{split}\]

Für die gegebenen Größen:

\[\begin{split}S_{1} &= 4 \,\mathrm{N} \\ S_{2} &= - 2 \sqrt{3} \,\mathrm{N} \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx}-3{,}46 \,\mathrm{N}\end{split}\]

e) Stab 3

Berechnen Sie die Kraft \(S_3\) im Stab 3:

für die gegebenen Symbole und
für die gegebenen Größen

Lösung

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, Eq, solve, sqrt

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp


def print_dict(sol, unit=1, unit_str=None, prec="nil", sub_list=[]):
    tmp = {str(k): v for k, v in sol.items()}
    tmp = sorted(tmp.items())
    for k, v in tmp:
        if unit_str:
            print("\n"+str(k) + " / " + unit_str + ":")
        else:
            print("\n"+str(k) + ":")
        v = v.subs(sub_list)
        v /= unit
        try: 
            v = v.applyfunc(simplify)
        except:
            v = v.simplify()
        if prec != "nil":
            v = iso_round(v, prec)
        pprint(v)

# ---

a, q = symbols("a, q")

sub_list=[
    (a, 2 *m),
    (q, 1 *N/m),
    ]

Gh, Gv, Av, Bv, Cv, Ch = symbols("Gh, Gv, Av, Bv, Cv, Ch")

R=2*a*q

# 1:
eq1 = Eq(0, Gh)
eq2 = Eq(0, Av + Bv + Gv)
eq3 = Eq(0, a*Bv + 2*a*Av)

# 2:
eq4 = Eq(0, Gh + Ch)
eq5 = Eq(0, R + Gv - Cv)
eq6 = Eq(0, 2*a*Gv + a*R)

eqns = [eq1, eq2, eq3, eq4, eq5, eq6]
unks = [Gh, Gv, Av, Bv, Cv, Ch]
sol = solve(eqns, unks)
print_dict(sol)

# cos(alpha), sin(alpha):
ca, sa = sqrt(3)/2, half

S1, S2, S3 = symbols("S1, S2, S3")
Av = sol[Av]
Bv = sol[Bv]

eqns=[
    Eq(S1*ca + S2, 0),
    Eq(S1*sa + Av, 0),
    Eq(S3 + Bv, 0),
    ]
unks = [S1, S2, S3]
sol = solve(eqns, unks)
print_dict(sol)
print_dict(sol, unit=N, unit_str="N", prec=2, sub_list=sub_list)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.