1.6.L
Gegeben
Größen:
\[\begin{split}a&= 1 \,\mathrm{m} \\
F&= 2 \,\mathrm{N}\end{split}\]
Berechnen Sie die 3 Stabkräfte wie folgt:
a) Freischnitt
Machen Sie einen Knotenschnitt um den Knoten 1, sodass die drei Stabkräfte sichtbar werden.
Lösung
b) Einheitsvektoren
Berechnen Sie die Komponenten der Einheitsvektoren in Stabrichtung \(\boldsymbol e_1, \boldsymbol e_1, \boldsymbol e_3\):
\begin{align} \label{eq-1.6.L-1}
\begin{bmatrix}
e_{1x} \\
e_{1y} \\
e_{1z} \\
\end{bmatrix}
&=
\tfrac{1}{\sqrt2}
\begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
-1
\end{bmatrix} \notag
\\
\begin{bmatrix}
e_{2x} \\
e_{2y} \\
e_{2z} \\
\end{bmatrix}
&=\dots \tag{1}
\\
\begin{bmatrix}
e_{3x} \\
e_{3y} \\
e_{3z} \\
\end{bmatrix}
&= \dots \notag
\end{align}
Lösung
\[\begin{split}\begin{bmatrix}
e_{1x} \\
e_{1y} \\
e_{1z}
\end{bmatrix}
&=
\tfrac{1}{\sqrt2}
\begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
-1
\end{bmatrix}
\\
\begin{bmatrix}
e_{2x} \\
e_{2y} \\
e_{2z}
\end{bmatrix}
&=
\tfrac{1}{\sqrt6}
\begin{bmatrix}
1 \\
2 \\
-1
\end{bmatrix}
\\
\begin{bmatrix}
e_{3x} \\
e_{3y} \\
e_{3z}
\end{bmatrix}
&=
\tfrac{1}{\sqrt6}
\begin{bmatrix}
-1 \\
2 \\
-1
\end{bmatrix}\end{split}\]
Details
Ein Vektor \(\boldsymbol v\) entlang Stab 1 hat die \((x,y,z)\)-Komponenten:
\[\begin{split}\begin{bmatrix}
v_x \\
v_y \\
v_z
\end{bmatrix}
&=
\begin{bmatrix}
a \\
0 \\
-a
\end{bmatrix}\end{split}\]
und den Betrag (die Norm):
\[\begin{split}\lVert \boldsymbol v \rVert
&= \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2} \\
&= \sqrt{a^2 + 0 + a^2} \\
&= \sqrt{2}a\end{split}\]
Damit ist der Einheitsvektor \(\boldsymbol e_1\):
\[\begin{split}\boldsymbol e_1 &= \tfrac{\boldsymbol v}{\lVert \boldsymbol v \rVert} \\
&=
\tfrac{1}{\sqrt{2}a}
\begin{bmatrix}
a \\
0 \\
-a
\end{bmatrix}
\\
&=
\tfrac{1}{\sqrt{2}}
\begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
-1
\end{bmatrix}\end{split}\]
Alternative: Berechnung mit Richtungskosinus wie in M.2.E.
c) Gleichgewichtsbedingung
Mit diesen Einheitsvektoren lassen sich die Stabkraft-Vektoren schreiben als:
\begin{align} \label{eq-1.6.L-2}
\boldsymbol S_1 &= S_1 \boldsymbol e_1 \notag \\
\boldsymbol S_2 &= S_2 \boldsymbol e_2 \tag{2} \\
\boldsymbol S_3 &= S_3 \boldsymbol e_3 \notag
\end{align}
und die GGB lautet:
\begin{align} \label{eq-1.6.L-3}
\boldsymbol S_1 + \boldsymbol S_2 + \boldsymbol S_3 + \boldsymbol F
=
\boldsymbol 0 \tag{3}
\end{align}
Verwenden Sie (1), (2) und (3), um folgende drei Gleichungen aufzustellen:
\[\begin{split}S_1
\begin{bmatrix}
e_{1x} \\
e_{1y} \\
e_{1z} \\
\end{bmatrix}
+ \dots +
\begin{bmatrix}
F_{x} \\
F_{y} \\
F_{z} \\
\end{bmatrix}
&=
\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
0 \\
\end{bmatrix}\end{split}\]
Lösung
\[\begin{split}S_1
\tfrac{1}{\sqrt2}
\begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
-1
\end{bmatrix}
+ S_2
\tfrac{1}{\sqrt6}
\begin{bmatrix}
1 \\
2 \\
-1
\end{bmatrix}
+ S_3
\tfrac{1}{\sqrt6}
\begin{bmatrix}
-1 \\
2 \\
-1
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
-F \\
\end{bmatrix}
&=
\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
0 \\
\end{bmatrix}
\\
S_1
\sqrt3
\begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
-1
\end{bmatrix}
+ S_2
\begin{bmatrix}
1 \\
2 \\
-1
\end{bmatrix}
+ S_3
\begin{bmatrix}
-1 \\
2 \\
-1
\end{bmatrix}
&=
\sqrt6
\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
F \\
\end{bmatrix}
\\
\begin{bmatrix}
\sqrt3 & 1 & -1 \\
0 & 2 & 2 \\
-\sqrt3 & -1 & -1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
S_1 \\
S_2 \\
S_3
\end{bmatrix}
&=
\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
\sqrt6 F \\
\end{bmatrix}\end{split}\]
d) Lösung
Berechnen Sie daraus \(S_1, S_2\) und \(S_3\) in \(\mathrm{N}\) (Newton) - und gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01\).
Lösung
Lösung und nach Einsetzen von \(F= 2 \,\mathrm{N}\):
\[\begin{split}S_{1}
&= - 2 \sqrt{2} \,\mathrm{N} \\
&\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} -2{,}83 \,\mathrm{N} \\
S_{2} &= \sqrt{6} \,\mathrm{N} \\
&\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 2{,}45 \,\mathrm{N} \\
S_{3} &= - \sqrt{6} \,\mathrm{N} \\
&\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} -2{,}45 \,\mathrm{N} \\\end{split}\]
