1.6.M

Gegeben

Symbole: \(a, F\)

a) Geometrie

Berechnen Sie die Länge \(l\). Zeigen Sie, dass:

\[l = \tfrac{\sqrt{10}}{3}a\]

Berechnen Sie das Verhältnis aus \(l\) und \(a\), und zwar gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01\):

\[\tfrac l a \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx}\ldots\]

Lösung

\[\begin{split}l &= \sqrt{ \left\{\tfrac 1 3 a \right\}^2 + a^2 } \\ &= \sqrt{\tfrac{10}{9} a^2 } \\ &= \tfrac{\sqrt{10}}{3}a\end{split}\]

\[\begin{split}\tfrac l a &= \tfrac{\sqrt{10}}{3} \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx}1{,}05\end{split}\]

b) Kosinus und Sinus

Berechnen Sie Kosinus und Sinus des Winkels \(\alpha\): Zeigen Sie, dass:

\[\cos\alpha = \tfrac{3}{10} \sqrt{10} \qquad \sin \alpha = \tfrac{1}{10} \sqrt{10}\]

Berechnen Sie diese Größen auch gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01\):

\[\cos\alpha \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx}\ldots\qquad \sin \alpha \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx}\ldots\]

Lösung

\[\begin{split}c_\alpha &= \tfrac{a}{l} \\ &= \tfrac{a}{\tfrac{\sqrt{10}}{3}a} \\ &= \tfrac{3}{10} \sqrt{10} \\ \\ s_\alpha &= \tfrac{\tfrac 1 3 a}{\tfrac{\sqrt{10}}{3}a} \\ &= \tfrac{1}{\sqrt{10}} \\ &= \tfrac{1}{10} \sqrt{10}\end{split}\]

Gerundet:

\[\begin{split}\cos\alpha &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx}0{,}95\\ \sin \alpha &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx}0{,}32\end{split}\]

c) Knotenschnitt um Knoten A

Berechnen Sie die Stabkräfte \(S_1\) und \(S_2\). Verwenden Sie dazu einen Knotenschnitt um Knoten A. Zeigen Sie, dass:

\[S_1 \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 3{,}16 F \qquad S_2 = - 3 F\]

Lösung

Lösung:

\[S_1 = \sqrt 10 F \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 3{,}16 F \qquad S_2 = -3 F\]

d) Knotenschnitt um Knoten B

Zeigen Sie an einem Knotenschnitt um Knoten B, dass gilt:

\[S_4 = 0\]

Und zeigen Sie auch an diesem Knotenschnitt, dass gilt:

\[S_3 = S_2\]

Lösung

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, Eq, solve, sqrt

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# Printing:
def printout(x, unit=1, prec="nil", sub_list=[]):
    x = x.subs(sub_list)
    x /= unit
    try: 
        x = x.applyfunc(simplify)
    except:
        tmp = x.simplify()
        if tmp != None:
            x = tmp
    if prec != "nil":
        x = iso_round(x, prec)
    pprint(x)
    return

def printout_sol(sol, unit=1, unit_str=None, prec="nil", sub_list=[]):
    for s in sol:
        if unit_str:
            print("\n"+str(s) + " / " + unit_str + ":")
        else:
            print("\n"+str(s) + ":")

        x = sol[s]
        x = x.subs(sub_list)
        x /= unit
        try: 
            x = x.applyfunc(simplify)
        except:
            x = x.simplify()
        if prec != "nil":
            x = iso_round(x, prec)
        pprint(x)
    return

def print_dict(sol, unit=1, unit_str=None, prec="nil", sub_list=[]):
    tmp = {str(k): v for k, v in sol.items()}
    tmp = sorted(tmp.items())
    for k, v in tmp:
        if unit_str:
            print("\n"+str(k) + " / " + unit_str + ":")
        else:
            print("\n"+str(k) + ":")
        v = v.subs(sub_list)
        v /= unit
        try: 
            v = v.applyfunc(simplify)
        except:
            v = v.simplify()
        if prec != "nil":
            v = iso_round(v, prec)
        pprint(v)
# ---

a = symbols("a", positive=True)
F = symbols("F")

print("\nl:")
k1 = a
k2 = a/3
l = sqrt(k1*k1 + k2*k2)
pprint(l)

print("\nl / a:")
tmp = l/a
tmp = iso_round(tmp, 2)
pprint(tmp)

pprint("\ncos(a), sin(a):")
ca = k1 / l
sa = k2 / l
tmp = ca
pprint(tmp)
tmp = sa
pprint(tmp)

pprint("\ncos(a), sin(a):")
tmp = iso_round(ca, 2)
pprint(tmp)
tmp = iso_round(sa, 2)
pprint(tmp)

S1, S2 = symbols("S1, S2")
eq1 = Eq(0, S1*sa - F)
eq2 = Eq(0, S2 + S1*ca)

pprint("\nS1, S2:")
sol = solve([eq1, eq2], [S1, S2])
pprint(sol)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.