1.6.N

Gegeben

Symbole: \(a, q\)

Und davon abhängig: \(F_1 = 2qa, F_2 = qa\)

a) Geometrie

Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}\cos\alpha = c_\alpha &= \tfrac{2}{5} \sqrt{5} \quad & \quad \cos\beta = c_\beta &= \tfrac{1}{2}\sqrt{2} \\ \sin\alpha = s_\alpha &= \tfrac{1}{5}\sqrt{5} \quad & \quad \sin\beta = s_\beta &= \tfrac{1}{2}\sqrt{2}\end{split}\]

Lösung

Pythagoras:

\[\begin{split}c_\alpha &= \tfrac{2a}{\sqrt{4a^2 + a^2}} \\ &= \tfrac{2}{\sqrt{4 + 1}} \\ &= \tfrac{2}{\sqrt{5}} \\ &= \tfrac{2}{5} \sqrt{5}\end{split}\]

Ebenso wird gezeigt:

\[\begin{split}s_\alpha &= \tfrac{1}{5}\sqrt{5} \\ c_\beta &= \tfrac{1}{2}\sqrt{2} \\ s_\beta &= \tfrac{1}{2}\sqrt{2}\end{split}\]

b) Freikörperbilder

Schneiden Sie frei, sodass folgende Kräfte sichtbar werden:

die Lagerreaktionen bei A und B
die Gelenkkräfte bei G und
die drei Stabkräfte

Zeichnen Sie drei Freikörperbilder, in denen diese Kräfte sichtbar sind.

Lösung

../../../_images/1.6.N_1.png — Freischnitte, mit denen alle Lagerreaktionen, Gelenkkräfte und Stabkräfte berechnet werden können. Alternativ lassen sich auch die Lagerreaktionen vorab berechnen an einem Freikörperbild des Gesamtsystems.

c) Gleichgewichtsbedingungen

Verwenden Sie die Gleichgewichtsbedingungen, um ein Gleichungssystem aufzustellen, was aus acht Gleichungen für die acht Unbekannten (Lagerreaktionen, Gelenkkräfte, Stabkräfte) besteht.

Lösung

Acht Gleichungen zur Berechnung der acht Unbekannten \(A_v, B_h, B_v, G_h, G_v, S_1, S_2, S_3\).

d) Lösung

Lösen Sie das lineare Gleichungssystem. D.h. berechnen Sie die Unbekannten abhängig von den gegebenen Symbolen.

Lösung

Lösung:

\[\begin{split}A_{v} &= \tfrac{9}{4} a q \\ \left( B_{h}, B_{v} \right) &= \left( 0 , \tfrac{11}{4} \right) a q \\ \left( G_{h}, G_{v} \right) &= \left( 5, \tfrac{9}{4} \right) a q \\ \left( S_{1}, S_{2}, S_{3} \right) &= \left( \tfrac{5}{2} \sqrt{5}, - \tfrac{13}{2}, 5 \sqrt{2} \right) a q\end{split}\]

e) Ergebnisse für Größen

Berechnen Sie die drei Stabkräfte für folgende Größen, und zwar gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}1\!:\)

\[\begin{split}a &= 1 \mathrm{m} \\ q &= 2 \, \tfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}\end{split}\]

Lösung

Einsetzen liefert:

\begin{align*} S_{1}& \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx} 11{,}2 \, \mathrm{N}& S_{2}& \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx} -13{,}0 \, \mathrm{N}& S_{3}& \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx} 14{,}1 \, \mathrm{N} \end{align*}

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, Eq, solve, sqrt

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# Printing:
def printout(x, unit=1, prec="nil", sub_list=[]):
    x = x.subs(sub_list)
    x /= unit
    try: 
        x = x.applyfunc(simplify)
    except:
        tmp = x.simplify()
        if tmp != None:
            x = tmp
    if prec != "nil":
        x = iso_round(x, prec)
    pprint(x)
    return

def printout_sol(sol, unit=1, unit_str=None, prec="nil", sub_list=[]):
    for s in sol:
        if unit_str:
            print("\n"+str(s) + " / " + unit_str + ":")
        else:
            print("\n"+str(s) + ":")

        x = sol[s]
        x = x.subs(sub_list)
        x /= unit
        try: 
            x = x.applyfunc(simplify)
        except:
            x = x.simplify()
        if prec != "nil":
            x = iso_round(x, prec)
        pprint(x)
    return

def print_dict(sol, unit=1, unit_str=None, prec="nil", sub_list=[]):
    tmp = {str(k): v for k, v in sol.items()}
    tmp = sorted(tmp.items())
    for k, v in tmp:
        if unit_str:
            print("\n"+str(k) + " / " + unit_str + ":")
        else:
            print("\n"+str(k) + ":")
        v = v.subs(sub_list)
        v /= unit
        try: 
            v = v.applyfunc(simplify)
        except:
            v = v.simplify()
        if prec != "nil":
            v = iso_round(v, prec)
        pprint(v)
        
# ---

a, q = symbols("a, q")

sub_list=[
    ( a, 1 *m   ),
    ( q, 2 *N/m ),
    ]

F1 = 2*q*a
F2 = q*a

R = 2*q*a

Av, Bh, Bv, Gh, Gv, S1, S2, S3 = \
    symbols("Av, Bh, Bv, Gh, Gv, S1, S2, S3")

ca = 2/sqrt(5)
sa = 1/sqrt(5)
cb = 1/sqrt(2)
sb = 1/sqrt(2)

# 1:
e1 = Eq( S1*ca, Gh )
e2 = Eq( Av + Gv, F1 + S1*sa )
e3 = Eq( a*Av, a*Gv )

# 2:
e4 = Eq( Gh + Bh, S3*cb )
e5 = Eq( Bv, R + Gv + S2 + S3*sb )
e6 = Eq( 0, a*(R+S2) + 2*a*Gv)

# 3:
e7 = Eq( S1*ca, S3*cb )
e8 = Eq( F2, S2 + S1*sa + S3*sb )

eqs=[e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8]
unks = [Av, Bh, Bv, Gh, Gv, S1, S2, S3]

sol = solve(eqs, unks)
printout_sol(sol, unit=1, unit_str=None, prec="nil", sub_list=[])
printout_sol(sol, unit=N, unit_str="N", prec="nil", sub_list=sub_list)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.