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1.7.A

Gegeben

Symbole:

\[a, q\]

und davon abhängig \(F=\tfrac 1 5 qa\).

Größen:

\[\begin{split}a &= 2\,\mathrm{m}\\ q &= 5\,\tfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}\end{split}\]

und davon abhängig \(F=\frac 1 5 qa=2\,\mathrm{N}\).

Berechnen Sie die Schnittgrößen im Balken. Gehen Sie wie folgt vor:

a) Lagerreaktionen

Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}A_v &= \tfrac 1 6 aq \\ B_v &= \tfrac 1 3 aq\end{split}\]

Lösung

\begin{align*} \circlearrowleft^{\color{red}\circ}\qquad 0 &= a B_v - \tfrac 2 3 a \cdot \tfrac 1 2 aq \quad &\Leftrightarrow &\quad & B_v &= \tfrac 1 3 aq \\ \circlearrowleft^{\color{blue}\circ}\qquad 0 &= - a A_v + \tfrac 1 3 a \cdot \tfrac 1 2 aq \quad & \Leftrightarrow &\quad & A_v &= \tfrac 1 6 aq \\ \end{align*}

b) Schnittgrößen für Symbole

Für die gegebenen Symbole: Berechnen und zeichnen Sie die Normalkraft, die Querkraft-Funktion und die Biegemoment-Funktion. Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}N &= - \tfrac 1 5 q a \\ Q(x) &= qa \left( \tfrac 1 6 - \tfrac 1 2 \left[\tfrac x a \right]^2 \right) \\ M(x) &= qa^2 \left( \tfrac 1 6 \left[ \tfrac x a \right] - \tfrac 1 6 \left[ \tfrac x a \right]^3 \right) \\\end{split}\]

mit dem Definitionsbereich \(0<x<a\).

Lösung

\[\begin{split}N &= - A_h \\ &= - F \\ &= - \tfrac 1 5 q a \\ \\ Q(x) &= A_v - \tfrac 1 2 q \tfrac x a \cdot x \\ &= \tfrac 1 6 a q - \tfrac 1 2 q \tfrac{x^2}{a} \\ &= qa \left( \tfrac 1 6 - \tfrac 1 2 \left[\tfrac x a \right]^2 \right) \\ \\ M(x) &= A_v x - \tfrac 1 2 q \tfrac x a \cdot x \cdot \tfrac 1 3 x \\ &= \tfrac 1 6 a q x - \tfrac 1 6 q \tfrac{x^3}{a} \\ &= qa^2 \left( \tfrac 1 6 \left[ \tfrac x a \right] - \tfrac 1 6 \left[ \tfrac x a \right]^3 \right) \\\end{split}\]

c) Schnittgrößen für Größen

Für die gegebenen Größen: Berechnen und zeichnen Sie die Normalkraft, die Querkraft-Funktion und die Biegemoment-Funktion. Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}N &= - 2 \,\mathrm{N} \\ Q(x) &= \left( \tfrac 5 3 - \tfrac 5 2 \left[ \tfrac{x}{\mathrm{m}} \right]^2 \right) \, \mathrm{N} \\ M(x) &= \left( \tfrac{5}{3}\left[ \tfrac{x}{\mathrm{m}} \right] - \tfrac{5}{12} \left[\tfrac{x}{\mathrm{m}} \right]^3 \right) \, \mathrm{Nm}\end{split}\]

mit dem Definitionsbereich \(0<x<2\,\mathrm{m}\).

Lösung

\[\begin{split}N &= - \tfrac 1 5 q a \\ &= - \tfrac 1 5 \cdot 10 \,\mathrm{N} \\ &= - 2 \,\mathrm{N} \\ \\ Q(x) &= qa \left( \tfrac 1 6 - \tfrac 1 2 \left[ \tfrac x a \right]^2 \right) \\ &= 10 \, \mathrm{N} \left( \tfrac 1 6 - \tfrac 1 2 \left[ \tfrac{x}{2\,\mathrm{m}}\right]^2 \right) \\ &= \left( \tfrac 5 3 - 5 \left[ \tfrac{x}{2\,\mathrm{m}} \right]^2 \right) \, \mathrm{N} \\ &= \left( \tfrac 5 3 - \tfrac 5 2 \left[ \tfrac{x}{\mathrm{m}} \right]^2 \right) \, \mathrm{N} \\ \\ M(x) &= qa^2 \left( \tfrac 1 6 \left[ \tfrac x a \right] - \tfrac 1 6 \left[ \tfrac x a \right]^3 \right) \\ &= 20 \, \mathrm{Nm} \left( \tfrac 1 6 \left[ \tfrac{x}{2\,\mathrm{m}} \right] - \tfrac 1 6 \left[ \tfrac{x}{2\,\mathrm{m}} \right]^3 \right) \\ &= \left( \tfrac{10}{3}\left[ \tfrac{x}{2\,\mathrm{m}} \right] - \tfrac{10}{3} \left[\tfrac{x}{2\,\mathrm{m}} \right]^3 \right) \, \mathrm{Nm}\\ &= \left( \tfrac{5}{3}\left[ \tfrac{x}{\mathrm{m}} \right] - \tfrac{5}{12} \left[\tfrac{x}{\mathrm{m}} \right]^3 \right) \, \mathrm{Nm}\end{split}\]