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1.7.B - V1

Gegeben

Symbole:

\[a, F\]

Größen:

\[\begin{split}a &= 1\,\mathrm{m}\\ F &= 6\,\mathrm{N}\end{split}\]

Berechnen Sie das Biegemoment im Balken. Gehen Sie wie folgt vor:

a) Definitionsbereiche

Sei:

• \(x_1\): (Koordinate zur Beschreibung der) Balkenposition in der linken Hälfte des Balkens.

• \(x_2\): (Koordinate zur Beschreibung der) Balkenposition in der rechten Hälfte des Balkens.

Sowohl \(x_1\) wie auch \(x_2\) sind gleich null am linken Balkenrand.

Für die gegebenen Symbole: Geben Sie die Definitionsbereiche an:

\[\begin{split}\ldots & < x_1 < \ldots \\ \ldots & < x_2 < \ldots\end{split}\]

Lösung

\[\begin{split}& 0 < x_1 < a \\ & a < x_2 < 2a\end{split}\]

b) Biegemoment-Funktionen

Für die gegebenen Symbole: Berechnen Sie die Biegemoment-Funktionen. Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}M_1(x_1) &= F x_1 \\ M_2(x_2) &= F(3 a - 2 x_2)\end{split}\]

Lösung

c) Tabelle der Funktionswerte

Für die gegebenen Größen \(F=6\,\mathrm{N}\) und \(a=1\,\mathrm{m}\): Füllen Sie folgende Tabellen aus:

\((F, a) = ( 6\,\mathrm{N}, 1\,\mathrm{m})\)

\(x_1\)	\(M_1\)	\(\tfrac{x_1}{\mathrm{m}}\)	\(\tfrac{M_1}{\mathrm{Nm}}\)
\(0 \,\mathrm{m}\)	\(0 \, \mathrm{Nm}\)	\(0\)	\(\ldots\)
\(\tfrac 1 2 \,\mathrm{m}\)	\(3 \, \mathrm{Nm}\)	\(\tfrac 1 2\)	\(\ldots\)
\(1 \,\mathrm{m}\)	\(\ldots\)	\(\ldots\)	\(\ldots\)

\((F, a) = ( 6\,\mathrm{N}, 1\,\mathrm{m})\)

\(x_2\)	\(M_2\)	\(\tfrac{x_2}{\mathrm{m}}\)	\(\tfrac{M_2}{\mathrm{Nm}}\)
\(1 \,\mathrm{m}\)	\(6 \, \mathrm{Nm}\)	\(\ldots\)	\(\ldots\)
\(\tfrac 3 2 \,\mathrm{m}\)	\(\ldots\)	\(\ldots\)	\(\ldots\)
\(2 \,\mathrm{m}\)	\(\ldots\)	\(\ldots\)	\(\ldots\)

Machen Sie dann neue Tabellen für \(F=3\,\mathrm{N}\) und \(a=1\,\mathrm{m}\).

Lösung

\((F, a) = ( 6\,\mathrm{N}, 1\,\mathrm{m})\)

\(x_1\)	\(M_1\)	\(\tfrac{x_1}{\mathrm{m}}\)	\(\tfrac{M_1}{\mathrm{Nm}}\)
\(0 \,\mathrm{m}\)	\(0 \, \mathrm{Nm}\)	\(0\)	\(0\)
\(\tfrac 1 2 \,\mathrm{m}\)	\(3 \, \mathrm{Nm}\)	\(\tfrac 1 2\)	\(3\)
\(1 \,\mathrm{m}\)	\(6 \, \mathrm{Nm}\)	\(1\)	\(6\)

\((F, a) = ( 6\,\mathrm{N}, 1\,\mathrm{m})\)

\(x_2\)	\(M_2\)	\(\tfrac{x_2}{\mathrm{m}}\)	\(\tfrac{M_2}{\mathrm{Nm}}\)
\(1 \,\mathrm{m}\)	\(6 \, \mathrm{Nm}\)	\(1\)	\(6\)
\(\tfrac 3 2 \,\mathrm{m}\)	\(0 \, \mathrm{Nm}\)	\(\tfrac 3 2\)	\(0\)
\(2 \,\mathrm{m}\)	\(-6 \, \mathrm{Nm}\)	\(2\)	\(-6\)

\((F, a) = ( 3\,\mathrm{N}, 1\,\mathrm{m})\)

\(x_1\)	\(M_1\)	\(\tfrac{x_1}{\mathrm{m}}\)	\(\tfrac{M_1}{\mathrm{Nm}}\)
\(0 \,\mathrm{m}\)	\(0 \, \mathrm{Nm}\)	\(0\)	\(0\)
\(\tfrac 1 2 \,\mathrm{m}\)	\(\tfrac 3 2 \, \mathrm{Nm}\)	\(\tfrac 1 2\)	\(\tfrac 3 2\)
\(1 \,\mathrm{m}\)	\(3 \, \mathrm{Nm}\)	\(1\)	\(3\)

\((F, a) = ( 3\,\mathrm{N}, 1\,\mathrm{m})\)

\(x_2\)	\(M_2\)	\(\tfrac{x_2}{\mathrm{m}}\)	\(\tfrac{M_2}{\mathrm{Nm}}\)
\(1 \,\mathrm{m}\)	\(3 \, \mathrm{Nm}\)	\(1\)	\(3\)
\(\tfrac 3 2 \,\mathrm{m}\)	\(0 \, \mathrm{Nm}\)	\(\tfrac 3 2\)	\(0\)
\(2 \,\mathrm{m}\)	\(-3 \, \mathrm{Nm}\)	\(2\)	\(-3\)

Details

• In den jeweils letzten beiden Spalten tauchen die Einheiten nur in der jeweiligen Kopfzeile auf. In den jeweils ersten beiden Spalten dagegen tauchen die Einheiten in allen Einträgen der Tabelle außer in der Kopfzeile auf.

• Das Biegemoment ist eine Funktion, die nur zwischen den Bereichsgrenzen definiert ist - aber nicht an den Rändern der Bereiche. Denn:

  \[\begin{split}0\,\mathrm{m} < & x_1 < 1\,\mathrm{m} \\ 1\,\mathrm{m} < & x_2 < 2\,\mathrm{m}\end{split}\]

• Die Schnittgrößen-Funktionen Biegemoment, Querkraft und Normalkraft werden nur zwischen den Bereichsgrenzen definiert, man es unerwünscht ist, dass die Funktionen an den Bereichsgrenzen unstetig sind.

• Hier im Beispiel wäre die Biegemoment-Funktion nicht unstetig an den Bereichsgrenzen, sodass man die Definitionsbereiche auch definieren könnte als:

  \[\begin{split}0\,\mathrm{m} \le & x_1 \le 1\,\mathrm{m} \\ 1\,\mathrm{m} \le & x_2 \le 2\,\mathrm{m}\end{split}\]

  Und darum war es auch möglich, die Funktionswerte an der Bereichsgrenzen zu berechnen.

d) Funktionsgraphen

Für die gegebenen Größen \(F=6\,\mathrm{N}\) und \(a=1\,\mathrm{m}\): Zeichnen Sie:

• \(\tfrac{M_1}{\mathrm{Nm}}\) über \(\tfrac{x_1}{\mathrm{m}}\)

• \(\tfrac{M_2}{\mathrm{Nm}}\) über \(\tfrac{x_2}{\mathrm{m}}\)

Lösung

Ergebnisse von oben:

\begin{align*} M_1 &= F x_1 & M_2 &= F (3 a - 2 x_2) \end{align*}

Einsetzen der gegebenen Größen \(F=6\,\mathrm{N}\) und \(a=1\,\mathrm{m}\) liefert:

\begin{align*} M_1 &= 6 \, \mathrm{N} \cdot x_1 & M_2 &= 6\,\mathrm{N}\left(3\,\mathrm{m} - 2 x_2 \right)\\ &= 6 \, \mathrm{Nm} \left( \tfrac{x_1}{\mathrm{m}} \right) & &= 6\,\mathrm{Nm} \left(3 - 2 \left( \tfrac{x_2}{\mathrm{m}} \right)\right) \end{align*}

Dasselbe anders notiert:

\begin{align*} \tfrac{M_1}{\mathrm{Nm}}&= 6\left( \tfrac{x_1}{\mathrm{m}} \right) &\tfrac{M_2}{\mathrm{Nm}}&= 6 \left( 3 - 2 \left( \tfrac{x_2}{\mathrm{m}} \right)\right) \end{align*}

Info zur Schreibweise

• Die Funktions-Argumente \(x_1\) und \(x_2\) wurden unterdrückt, um weniger schreiben zu müssen. Statt zu schreiben \(M_1(x_1)=\ldots\) wurde geschrieben \(M_1 = \ldots\).

• Die Funktionsgleichungen wurden umgeformt, sodass auf jeder Seite der Gleichungen dimensionslose Größen stehen.

• Wenn man dimensionslose Größen in einer Tabelle oder in einem Diagramm darstellt: Dann tauchen die Einheiten nur in der Kopfzeile der Tabelle bzw. in der Achsenbeschriftung des Diagramms auf. Aber die Daten in der Tabelle bzw. die Daten im Diagramm sind nur Zahlen.