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1.7.B - V2

Gegeben

Symbole:

\[a, F\]

Berechnen Sie das Querkraft und das Biegemoment im Balken. Gehen Sie wie folgt vor:

a) Querkraft-Funktionen

Sei:

• \(x_1\): (Koordinate zur Beschreibung der) Balkenposition in der linken Hälfte des Balkens.

• \(x_2\): (Koordinate zur Beschreibung der) Balkenposition in der rechten Hälfte des Balkens.

Sowohl \(x_1\) wie auch \(x_2\) sind gleich null am linken Balkenrand.

Für die gegebenen Symbole: Geben Sie die Definitionsbereiche an:

\[\begin{split}\ldots & < x_1 < \ldots \\ \ldots & < x_2 < \ldots\end{split}\]

Und berechnen Sie die Funktionen \(Q_1(x_1)\) und \(Q_2(x_2)\). Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}Q_1(x_1) &= F \\ Q_2(x_2) &= 2F\end{split}\]

Lösung

b) Querkraft-Funktionsgraphen

Seien ab hier folgende Größen gegeben:

\[\begin{split}a &= 1 \,\mathrm{m} \\ F &= 6 \,\mathrm{N}\end{split}\]

Für diese gegebenen Größen: Zeichnen Sie:

• \(\tfrac{Q_1}{\mathrm{N}}\) über \(\tfrac{x_1}{\mathrm{m}}\)

• \(\tfrac{Q_2}{\mathrm{N}}\) über \(\tfrac{x_2}{\mathrm{m}}\)

Lösung

\begin{align*} Q_1 &= F & Q_2 &= - 2F \end{align*}

Einsetzen der gegebenen Größen führt auf:

\begin{align*} \tfrac{Q_1}{\mathrm{N}} &= 6 & \tfrac{Q_2}{\mathrm{N}} &= - 12 \end{align*}

c) Biegemoment aus Differentialgleichung

Verwenden Sie die Aussage Die Ableitung der Biegemoment-Funktion ist gleich der Querkraft-Funktion. Und verwenden Sie Randbedingungen. Berechnen Sie damit die Biegemoment-Funktionen. Zeigen Sie, dass für die gegebenen Größen \(F=6\,\mathrm{N}\) und \(a=1\,\mathrm{m}\) gilt:

\[\begin{split}M_1(x_1) &= 6\,\mathrm{N} x_1 \\ M_2(x_2) &= 6\,\mathrm{Nm} - 12 \,\mathrm{N} (x_2 - 1\,\mathrm{m})\end{split}\]

Und zeichnen Sie für diese gegebenen Größen:

• \(\tfrac{M_1}{\mathrm{Nm}}\) über \(\tfrac{x_1}{\mathrm{m}}\)

• \(\tfrac{M_2}{\mathrm{Nm}}\) über \(\tfrac{x_2}{\mathrm{m}}\)

Lösung

Die Differentialgleichung

\[\begin{split}M_1' &= Q_1 \\ &= F \\ &= 6\,\mathrm{N}\end{split}\]

und die Randbedingung \(M_1(x_1=0\,\mathrm{m}) = 0\) führt auf:

\[\begin{split}M_1(x_1) &= M_1(0\,\mathrm{m}) + \int_{x=0\,\mathrm{m}}^{x_1} M_1' \, {\mathsf d}x\\ &= 0 + \int_{x=0 \,\mathrm{m}}^{x_1} Q_1 \, {\mathsf d}x \\ &= 6\,\mathrm{N} \int_{x=0 \,\mathrm{m}}^{x_1} \, {\mathsf d}x \\ &= 6\,\mathrm{N} x_1\end{split}\]

sodass \(M_1\) linear ansteigt von null bis auf \(M_1(x_1=1\,\mathrm{m}) = 6 \,\mathrm{Nm}\).

Die Differentialgleichung:

\[\begin{split}M_2' &= Q_2 \\ &= -12 \,\mathrm{N}\end{split}\]

und die Randbedingung \(M_2(x_2=1\,\mathrm{m}) = 6\,\mathrm{Nm}\) führt auf:

\[\begin{split}M_2(x_2) &= M_2(1\,\mathrm{m}) + \int_{x=1\,\mathrm{m}}^{x_2} M_2' \, {\mathsf d}x\\ &= 6\,\mathrm{Nm} + \int_{x=1\,\mathrm{m}}^{x_2} Q_2 \, {\mathsf d}x \\ &= 6\,\mathrm{Nm} - \int_{x=1\,\mathrm{m}}^{x_2} 12 \,\mathrm{N} \, {\mathsf d}x \\ &= 6\,\mathrm{Nm} - 12 \,\mathrm{N} (x_2 - 1\,\mathrm{m})\end{split}\]

sodass \(M_2\) linear absinkt von \(M_2(x_2=1\,\mathrm{m}) = 6 \,\mathrm{Nm}\) bis auf \(M_2(x_2=2\,\mathrm{m}) = -6 \,\mathrm{Nm}\).

Wie in Aufgabe 1.7.B - V1:

d) Biegemoment aus Gleichgewichtsbedingung

Überprüfen Sie Ihr Ergebnis, indem Sie \(M_1(x_1)\) und \(M_2(x_2)\) mit Gleichgewichtsbedingungen berechnen.

Zeichnen Sie außerdem die Querkraft-Funktionen und die Biegemoment-Funktionen in ein Diagramm. Und zwar wieder für die gegebenen Größen \(F=6\,\mathrm{N}\) und \(a=1\,\mathrm{m}\).

Lösung