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1.7.C

Gegeben

Symbole: \(a, q\)

Berechnen Sie die Querkraft und das Biegemoment im Balken. Gehen Sie wie folgt vor:

a) Lagerreaktionen bei A

Berechnen Sie die Lagerreaktionen bei A.

Lösung

Lösung:

\[\begin{split}A_h &= 0 \\ A_v &= a q \\ M_A &= \tfrac{3}{2} qa^{2}\end{split}\]

b) Querkraft- und Biegemoment-Funktionen

Verwenden Sie \(x_1\) und \(x_2\) als Koordinaten. Geben Sie Definitionsbereiche für \(x_1\) und \(x_2\) an, sodass \(x_1\) die linke Hälfte des Balkens abdeckt und \(x_2\) die rechte.

Schneiden Sie in beiden Bereichen. Und berechnen Sie:

\[\begin{split}\tfrac{Q_1}{qa} &=\ldots \\ \tfrac{M_1}{qa^2} &=\ldots \\ \tfrac{Q_2}{qa} &=\ldots \\ \tfrac{M_2}{qa^2} &=\ldots \\\end{split}\]

Lösung

Lösung nach Einsetzen von \(A_v, M_A\):

\[\begin{split}\tfrac{Q_1}{qa} &= 1 \\ \tfrac{M_1}{qa^2} &= \left( \tfrac{x_1}{a} \right) - \tfrac{3}{2} \\ \tfrac{Q_2}{qa} &= - \left( \tfrac{x_2}{a} \right) + 2 \\ \tfrac{M_2}{qa^2} &= - \tfrac12 \left( \tfrac{x_2}{a} \right)^{2} + 2 \left( \tfrac{x_2}{a} \right) - 2\end{split}\]

c) Funktionsgraphen für Symbole

Zeichnen Sie die Funktionsgraphen der Funktionen:

\(\tfrac{Q_1}{qa}\) und \(\tfrac{M_1}{qa^2}\) über \(\tfrac{x_1}{a}\)
\(\tfrac{Q_2}{qa}\) und \(\tfrac{M_2}{qa^2}\) über \(\tfrac{x_2}{a}\)

Lösung

Bokeh Plot

c) Funktionsgraphen für Größen

Seien ab hier folgende Größen gegeben:

\[\begin{split}a &= 2 \,\mathrm{m} \\ q &= 1 \,\tfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}\end{split}\]

Für diese gegebenen Größen: Zeichnen Sie:

\(\tfrac{Q_1}{\mathrm{N}}\) und \(\tfrac{M_1}{\mathrm{Nm}}\) über \(\tfrac{x_1}{\mathrm{m}}\)
\(\tfrac{Q_2}{\mathrm{N}}\) und \(\tfrac{M_2}{\mathrm{Nm}}\) über \(\tfrac{x_2}{\mathrm{m}}\)

Lösung

Bokeh Plot

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, Eq, solve, sqrt

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2

a, q = symbols("a, q")

sub_list = [
    ( a, 3 *m   ),
    ( q, 1 *N/m ),
    ]

R = q*a

Av = R
MA = R*3*a/2

x = symbols("x")

Rx = q*(x-a)

pprint("\nQ1, M1:")
Q1 = Av
M1 = Av*x - MA
pprint(Q1)
pprint(M1)

pprint("\nQ2, M2:")
Q2 = Av - Rx
M2 = Av*x - MA - Rx*(x-a)/2
pprint(Q2)
pprint(M2)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.