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1.7.E

Gegeben

Symbole: \(a, q\)

Größen: \(a = 9\,{\mathrm{m}}, q = 1 \tfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}\)

Berechnen Sie die Schnittgrößen \(N, Q, M\) im Bereich zwischen A und C wie folgt:

a) Lagerreaktionen

Berechnen Sie die Lagerreaktionen bei A und B.

Lösung

Lösung:

\[\begin{split}A_h &= \tfrac{2 a}{3} q \\ A_v &= 2 a q\\ B_h &= -\tfrac{2 a}{3} q\end{split}\]

Mit Größen:

\[\begin{split}A_h &= 6\,{\mathrm{N}} \\ A_v &= 18\,{\mathrm{N}} \\ B_h &= -6\,{\mathrm{N}}\end{split}\]

b) Seilkraft

Berechnen Sie die Zugkraft \(S\) im Seil, und zwar in \(\mathrm{N}\) (Newton) gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01.\)

Lösung

Lösung:

\[S = \tfrac{4\sqrt{5}}{9}a q\]

Nach Einsetzen der Größen und Runden:

\[S \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx}8{,}94\,{\mathrm{N}}\]

c) Schnittgrößen

Berechnen Sie \(N, Q, M\) zwischen A und C.

Lösung

Lösung nach Einsetzen von \(S\) und \(R_x\):

\[\begin{split}N &= - \tfrac{4}{9} qa \\ Q &= - q x + \frac{10}{9} qa \\ M &= - \frac{1}{2}q x^{2} + \frac{10}{9} q a x - \frac{2}{9} qa^{2}\\\end{split}\]

Dasselbe anders geschrieben mit der Abkürzung \(\xi = \tfrac{x}{a}\):

\[\begin{split}\tfrac{N}{qa} &= - \tfrac{4}{9} \\ \tfrac{Q}{qa} &= - \xi + \tfrac{10}{9} \\ \tfrac{M}{qa^2} &= - \tfrac{1}{2}\xi^{2} + \tfrac{10}{9} \xi - \tfrac{2}{9}\\\end{split}\]

Mit Größen und mit der neuen Definition \(\xi = \tfrac{x}{\mathrm{m}}\):

\[\begin{split}\tfrac{N}{\mathrm{N}} &= - 4 \\ \tfrac{Q}{\mathrm{N}} &= - \xi + 10 \\ \tfrac{M}{\mathrm{Nm}} &= - \tfrac 1 2 \xi^{2} + 10 \xi - 18\\\end{split}\]

d) Biegemoment am Gelenk

Gehen Sie ab hier davon aus, dass:

\[\begin{split}N &= - \tfrac{4}{9} qa \\ Q &= qa\left\{- \left( \tfrac x a \right) + \tfrac{10}{9} \right\}\\ M &= q a^2 \left\{- \tfrac 1 2 \left( \tfrac x a \right)^2 + \tfrac{10}{9} \left( \tfrac x a \right) - \tfrac{2}{9} \right\}\end{split}\]

Zeigen Sie, dass \(M(x=2a)=0\).

Lösung

Einsetzen liefert:

\[M(x=2a)=0\]

e) Position wo M extremal ist

Es gilt \(M'=Q\). An welcher Stelle gilt \(M'=0\)? An welcher Stelle \(x=x^*\) zwischen A und C könnte das Moment also extremal (Maximum oder Minimum) sein?

Lösung

Das Biegemoment könnte extremal sein an einer Stelle \(x^*\), wo:

\[Q(x^*)=0\]

Und dies ist der Fall bei:

\[\begin{split}x^* &= \tfrac{10}{9}a \\ &= 10\,{\mathrm{m}}\end{split}\]

Und das Biegemoment ist dort auch für \(q>0\) maximal, wie man am Funktionsgraph sieht und wie man auch zeigen könnte, indem man zeigt, dass die zweite Ableitung der Biegemoment-Funktion an dieser Stelle kleiner als null ist.

f) Funktionsgraphen

Für die gegebenen Größen:

\[a = 9\,{\mathrm{m}} \qquad q = 1 \tfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}\]

Zeichnen Sie die Schnittgrößen \(N, Q, M\) für den Bereich zwischen A und C:

\(\tfrac{N}{\mathrm{N}}\) über \(\tfrac{x}{\mathrm{m}}\)
\(\tfrac{Q}{\mathrm{N}}\) über \(\tfrac{x}{\mathrm{m}}\)
\(\tfrac{M}{\mathrm{Nm}}\) über \(\tfrac{x}{\mathrm{m}}\)

Zeichnen Sie außerdem dieselben Schnittgrößen für andere gegebene Größen, nämlich für:

\[a = 9\,{\mathrm{m}} \qquad q = - 1 \tfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}\]

Lösung

Bokeh Plot

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, Eq, solve, sqrt

# Units:
Newton    =  kg*m/s**2
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    pprint(x)
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
        
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# Printing:
def printout(x, unit=1, prec="nil", sub_list=[]):
    x = x.subs(sub_list)
    x /= unit
    try: 
        x = x.applyfunc(simplify)
    except:
        tmp = x.simplify()
        if tmp != None:
            x = tmp
    if prec != "nil":
        x = iso_round(x, prec)
    pprint(x)
    return

a, q = symbols("a, q")
x = symbols("x")
xi = symbols("xi")

sub_list = [
    ( a, 9 *m        ),
    ( q, 1 *Newton/m ),
    ( x, xi*m        ),
    ]

R = 2*a*q
Av, Ah, Bh = symbols("Av, Ah, Bh")

# equilibrium conditions:
eq1 = Eq(0, Ah + Bh)
eq2 = Eq(0, Av - R)
eq3 = Eq(0, 3*a*Bh + a*R)

# solve linear system:
eqs = [eq1, eq2, eq3]
sol = solve(eqs, [Av, Ah, Bh])
Ah = sol[Ah]
pprint(sol)

pprint("\nCable force S:")
S = symbols("S")
ca = 2/sqrt(5)
sa = 1/sqrt(5)

lhs = 2*a*S*ca - a*S*sa
rhs = a*R - a*Ah
eq = Eq(lhs, rhs)
S = solve(eq, S)[0]
pprint(S)

pprint("\nS / N:")
printout(S, unit=Newton, prec="nil", sub_list=sub_list)

Rx = (2*a-x)*q
hx = (2*a-x)/2

pprint("\n(N / (qa), Q / (qa), M / (qa²):")
N = - sa*S
Q = (2*a-x)*q - ca*S
M = (2*a-x)*S*ca - hx*Rx

N_dim = N / (q*a)
Q_dim = Q / (q*a)
M_dim = M / (q*a*a)
for Sf in [N_dim, Q_dim, M_dim]:
    Sf = Sf.expand().subs(x, xi*a)
    pprint(Sf)
 
pprint("\n(N / N, Q / N, M / (Nm):)")
printout(N, unit=Newton, prec="nil", sub_list=sub_list)
printout(Q, unit=Newton, prec="nil", sub_list=sub_list)
printout(M, unit=Newton*m, prec="nil", sub_list=sub_list)

pprint("\nM(x=2a):")
pprint(M.subs(x,2*a))

print("\nPosition for which M'=0:")
Q = Q / (q*a)
M = M / (q*a*a)
N = N / (q*a)
[Q,M,N] = [X.expand().subs(x/a,xi) for X in [Q,M,N]]

# Find xi for which Q(xi)=0:
sol = solve([Eq(Q, 0)], xi)
xi0 = sol[xi]
x0 = xi0 * a
M0 = M.subs(xi, xi0)
pprint(x0)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.