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1.7.F

Gegeben

Symbole: \(a, q\)

Und davon abhängig: \(F = qa\)

a) Lagerreaktionen

Berechnen Sie die Lagerreaktionen.

Tipp: Schneiden Sie auch durch das Gelenk.

Lösung

Lösung:

\begin{align*} A_h &= - 2 qa \\ A_v &= \tfrac{3}{2} qa \\ B_v &= \tfrac{1}{2}qa \\ M_A &= - 2 qa^{2} \\ \\ G_h &= - 2 qa \\ G_v &= - \tfrac{1}{2}qa \\ \end{align*}

Bemerkung

Nach den Gelenkkräften \(G_h, G_v\) ist nicht gefragt, aber sie sind Bestandteil der Lösung des Linearen Gleichungssystems.

b) Schnittgrößen

Berechnen Sie die Schnittgrößen Normalkraft, Querkraft und Biegemoment. Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}N_1 &= 2 qa \\ Q_1 &= \tfrac{3}{2} qa \\ M_1 &= \tfrac{3}{2} q a x_{1} - 2 qa^{2} \\ \\ N_2 &= 2 qa \\ Q_2 &= \tfrac{1}{2}qa \\ M_2 &= \tfrac{1}{2} qa\left(x_{2} - a \right) \\ \\ N_3 &= 2 qa \\ Q_3 &= - q x_3 + \tfrac{1}{2} qa \\ M_3 &= \tfrac{1}{2}qa \left(a - x_{3}\right) - \tfrac{1}{2} q\left(a - x_{3}\right)^{2}\end{split}\]

Lösung

Einsetzen der zuvor berechneten Lagerreaktionen und Gelenkkräfte liefert das, was zu zeigen ist.

c) Funktionsgraphen

Zeichnen Sie die dimensionslosen Schnittgrößen.

\(\tfrac{N_1}{qa}\) und \(\tfrac{Q_1}{qa}\) und \(\tfrac{M_1}{qa^2}\) über \(\xi_1=\tfrac{x_1}{a}\)
\(\tfrac{N_2}{qa}\) und \(\tfrac{Q_2}{qa}\) und \(\tfrac{M_2}{qa^2}\) über \(\xi_2=\tfrac{x_2}{a}\)
\(\tfrac{N_3}{qa}\) und \(\tfrac{Q_3}{qa}\) und \(\tfrac{M_3}{qa^2}\) über \(\xi_3=\tfrac{x_3}{a}\)

Lösung

Schnittgrößen:

\begin{align*} \tfrac{N_1}{q a} &= 2 & &= 2 \\ \tfrac{Q_1}{q a} &= \tfrac{3}{2} & &= \tfrac{3}{2} \\ \tfrac{M_1}{q a^2} &= \tfrac{3}{2}\left( \tfrac{x_1}{a} \right) - 2 & &= \tfrac{3}{2}\xi_1 - 2 \\ \\ \tfrac{N_2}{q a} &= 2 & &= 2 \\ \tfrac{Q_2}{q a} &= \tfrac{1}{2} & &= \tfrac{1}{2} \\ \tfrac{M_2}{q a^2} &= \tfrac 1 2 \left( \tfrac{x_2}{a} \right) - \tfrac{1}{2}& &= \tfrac 1 2 \xi_2 - \tfrac{1}{2} \\ \\ \tfrac{N_3}{q a} &= 2 & &= 2 \\ \tfrac{Q_3}{q a} &= - \left( \tfrac{x_3}{a} \right) + \tfrac{1}{2} & &= - \xi_3 + \tfrac{1}{2} \\ \tfrac{M_3}{q a^2} &= \tfrac 1 2 \left( \tfrac{x_3}{a} \right) \left(1 - \left( \tfrac{x_3}{a} \right) \right) & &= \tfrac 1 2 \xi_3 \left(1 - \xi_3 \right) \end{align*}

Bokeh Plot

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy import *

a, q = symbols("a, q")

F = q*a

Ah, Av, MA, Gh, Gv, Bv = symbols('Ah, Av, MA, Gh, Gv, Bv')

eqns = [
    # left:
    Eq( 0, Ah - Gh ),
    Eq( 0, Av + Gv - F ),
    Eq( 0, MA + a*F - 2*a*Gv),
    # right:
    Eq( 0, Gh + 2*F ),
    Eq( 0, Bv - Gv - a*q ),
    Eq( 0, a*a/2*q - a*Bv ),
    ]

unks = [Ah, Av, MA, Gh, Gv, Bv]
sol = solve(eqns, unks)

pprint(sol)

Programm ausführen? Dazu:

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Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
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