Tags: Web-App

1.7.G

Gegeben

Symbole: \(a, q\)

a) Lagerreaktionen und Gelenkkräfte

Berechnen Sie Lagerreaktionen und Gelenkkräfte.

Lösung

Lösung:

\begin{align*} A_{h} &= 0 & & \qquad & A_{v} &= \tfrac 3 2 qa \\ B_{h} &= 0 & & \qquad & B_{v} &= - \tfrac 1 2 qa \\ C_{v} &= \tfrac 1 2 qa & & \qquad & M_A &= - q a^{2} \end{align*}

b) Schnittgrößen aus Freischnitt

Berechnen Sie Querkraft \(Q\) und Biegemoment \(M\) durch Freischneiden und Auswertung der Gleichgewichtsbedingungen. Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}\tfrac{Q}{qa}&= \tfrac 3 2 - 2 \left( \tfrac{x}{2a} \right) \\ \tfrac{M}{qa^2}&= -1 + 3\left( \tfrac{x}{2a} \right) - 2 \left( \tfrac{x}{2a} \right)^2\end{split}\]

Lösung

Dimensionslose Schnittgrößen nach Einsetzen der Lagerreaktionen siehe Behauptung.

c) Schnittgrößen aus Differentialgleichungen

Berechnen Sie \(Q\) und \(M\) mit den Differentialgleichungen:

\[\begin{split}Q' &= - q \\ M' &= Q\end{split}\]

und unter Verwendung der Randwerte.

Lösung

Randwerte:

	\(x = 0\)	\(x = 2a\)
\(Q\)	\(\tfrac 3 2 qa\)	\(-\tfrac 1 2 qa\)
\(M\)	\(- q a^2\)	\(0\)

Differentialgleichungen:

\[\begin{split}Q' &= - q \\ M' &= Q\end{split}\]

Integration zwischen \(0\) und \(x\) führt auf:

\[\begin{split}Q(x) - Q(0) &= \int_{\tilde x=0}^{x} -q(\tilde x) \, d\tilde x \\ M(x) - M(0) &= \int_{\tilde x=0}^{x} Q(\tilde x) \, d\tilde x\end{split}\]

Ergebnis wie oben:

\[\begin{split}Q(x) &= \tfrac32 qa - q x \\ &= qa \left\{\tfrac32 - 2 \left( \tfrac{x}{2a} \right) \right\} \\ M(x) &= - q a^2 + \tfrac32 qa x - \tfrac12 q x^2 \\ &= qa^2 \left\{-1 + 3\left( \tfrac{x}{2a} \right) - 2 \left( \tfrac{x}{2a} \right)^2\right\}\end{split}\]

Details

Alternativ führt Integration zwischen \(x\) und \(2a\) auf dasselbe \(Q(x)\) und \(M(x)\).

\[\begin{split}Q(2a) - Q(x) &= \int_{\tilde x=x}^{2a} - q \, d\tilde x \\ M(2a) - M(x) &= \int_{\tilde x=x}^{2a} Q(\tilde x) \, d\tilde x\end{split}\]

d) Funktionsgraphen

Zeichnen Sie die Graphen der dimensionslosen Schnittgrößen-Funktionen \(\tfrac{Q}{qa}\) und \(\tfrac{M}{qa^2}\).

Lösung

Bokeh Plot

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, Eq, solve, sqrt

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2
        
a, q = symbols("a, q")

sub_list=[
    (a, 1 *m),
    (q, 1 *N/m),
    ]
half = S(1)/2

beta=half

a1 = beta*(2*a)
a2 = (1-beta)*(2*a)

R1, R2 = q*a1, q*a2

# Unknowns:
Ah, Av, Bh, Bv, Cv, MA = symbols('Ah, Av, Bh, Bv, Cv, MA')

# Equations:
eqns = [
    Eq( 0, Ah - Bh ),
    Eq( 0, Av + Bv - R1 ),
    Eq( 0, MA + half*a1*R1 - a1*Bv),
    #
    Eq( 0, Bh ),
    Eq( 0, Cv - R2 - Bv ),
    Eq( 0, half*a2*R2 - a2*Cv ),
    ]

# Solve equations:
unks = [Ah, Av, Bh, Bv, Cv, MA]
sol = solve(eqns, unks)
pprint(sol)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.