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1.7.I

Ähnliche Aufgabe

1.7.G

Gegeben

Symbole: \(a, q>0\)

Außerdem gegeben:

\(0 \le \beta \le 1\): Ein Parameter, der die Position des Gelenks festlegt. Zum Beispiel gilt:

\(\beta=0\): Gelenk ist ganz links.
\(\beta=\tfrac 1 2\): Gelenk ist in der Mitte.
\(\beta=1\): Gelenk ist ganz rechts.

a) Lagerreaktionen

Für die gegebenen Symbole: Berechnen Sie die Lagerreaktionen abhängig von \(\beta\). Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}A_{h} &= 0 \\ A_{v} &= qa \left( 1 + \beta \right) \\ C_{v} &= qa \left( 1 - \beta \right) \\ M_{A} &= - 2 qa^{2} \beta\end{split}\]

Lösung

Wie man durch Einsetzen prüft, erfüllen diese Lagerreaktionen die Gleichgewichtsbedingungen:

\begin{align*} \rightarrow &=0 & A_{h} &= 0 \\ \uparrow &=0 & A_v + C_v &= 2a q \\ \circlearrowright^{\color{red}\circ}&=0 & M_A + 2qa\cdot a - C_v \cdot 2a &= 0 \end{align*}

siehe 1.7.G.

b) Schnittgrößen

Für die gegebenen Symbole: Berechnen Sie Querkraft und Biegemoment abhängig von \(\beta\). Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}\tfrac{Q}{qa}&= - 2 \xi + \left(1 + \beta\right)\\ \tfrac{M}{qa^2}&= - 2 \xi^2 + \left(2 \beta + 2\right)\xi - 2 \beta\end{split}\]

mit \(\xi = \tfrac{x}{2a}\).

Lösung

Lösung nach Einsetzen der Lagerreaktionen:

\[\begin{split}Q &= q a\left(1 + \beta \right) - qx \\ M &= - 2 qa^{2} \beta + qa x \left(1 + \beta \right) - \tfrac{q x^{2}}{2}\end{split}\]

Umformen ergibt die Behauptung.

c) Funktionsgraphen

Zeichnen Sie für \(\beta = \tfrac 1 2\):

\(\tfrac{Q}{qa}\) über \(\xi=\tfrac{x}{2a}\) und
\(\tfrac{M}{qa^2}\) über \(\xi=\tfrac{x}{2a}\)

Lösung

1.7.I

d) Position wo M extremal ist

\(M\) hat bei \(x=x_0\):

ein lokales Maximum, wenn \(M'(x_0)=0\) und \(M''(x_0)<0\)
ein lokales Minimum, wenn \(M'(x_0)=0\) und \(M''(x_0)>0\).

Finden Sie die Position \(x=x_0\), bei der \(M\) ein lokales Maximum oder Minimum hat. Und zeigen Sie, dass diese Position von \(\beta\) abhängt. Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}x_0 &= a (1 + \beta) \\ M(x_0)&= qa^2 \left\{ \tfrac{1}{2} \beta^{2} - \beta + \tfrac{1}{2} \right\}\end{split}\]

Lösung

Ableitungen:

\[\begin{split}M' &= a q \left(\beta + 1\right) - qx \\ M'' &= - q \\\end{split}\]

Für die Position \(x_0\), bei der das Biegemoment extremal sein könnte, gilt:

\[M'(x_0) =0 \quad \Leftrightarrow \quad x_0 = a (1 + \beta)\]

An dieser Position gilt (wie auch überall sonst im Balken):

\[M'' < 0\]

D.h. an der Position \(x_0\) ist das Biegemoment maximal.

Das Biegemoment an dieser Position ist:

\[M(x_0) = qa^2 \left\{ \tfrac{1}{2} \beta^{2} - \beta + \tfrac{1}{2} \right\}\]

e) Betragsmäßig größtes Moment

Die betragsmäßig größten Werte für \(M\) werden angenommen bei \(x=0\) und bei \(x=x_0\). Berechnen Sie das Moment an diesen zwei Stellen für verschiedene Werte für \(\beta\). Füllen Sie folgende Tabelle:

\(\beta\)	\(\tfrac{M(0)}{qa^2}\)	\(\tfrac{x_0}{a} = 1 + \beta\)	\(\tfrac{M(x_0)}{qa^2}\)
\(0\)
\(\tfrac 14\)
\(\tfrac 12\)
\(\tfrac 34\)
\(1\)

Und zeichnen Sie \(\tfrac{Q}{qa}\) und \(\tfrac{M}{qa^2}\) über \(\tfrac{x}{a}\) für Parameter \(\beta\in\left\{ 0, \tfrac 14, \tfrac 12, \tfrac 34, 1 \right\}\).

Lösung

\(\beta\)	\(\tfrac{M(0)}{qa^2}\)	\(\tfrac{x_0}{a} = 1 + \beta\)	\(\tfrac{M(x_0)}{qa^2}\)
\(0\)	\(0\)	\(\tfrac 4 4\)	\(\tfrac 1 2\)
\(\tfrac 14\)	\(-\tfrac 12\)	\(\tfrac 5 4\)	\(\tfrac{9}{32}\approx 0{,}281\)
\(\tfrac 12\)	\(- 1\)	\(\tfrac 6 4\)	\(\tfrac{1}{8}\approx 0{,}125\)
\(\tfrac 34\)	\(- \tfrac 32\)	\(\tfrac 7 4\)	\(\tfrac{1}{32}\approx 0{,}0313\)
\(1\)	\(-2\)	\(\tfrac 8 4\)	\(0\)

e) Optimale Gelenkposition

Sei \(M_{\mathsf{max}}\) die Maximumsnorm von \(M(x)\), also das Maximum des Betrags von \(M(x)\). Da dieses Maximum nur abhängig ist vom Moment bei \(x=0\) und bei \(x=x_0\), gilt:

\[\begin{split}M_{\mathsf{max}} &= \max\limits_{0 < x < 2a} {\lvert M(x) \rvert} \\ &=\max\left\{ \left\lvert \tfrac{M(0)}{qa^2} \right\rvert, \left\lvert \tfrac{M(x_0)}{qa^2}\right\rvert\right\}\end{split}\]

Zeichnen Sie die Funktionsgraphen der folgenden vier Funktionen über \(0 \le \beta \le 1\) in ein Diagramm:

\[\begin{split}f_1 &= \tfrac{M(0)}{qa^2} \\ \left\lvert f_1 \right\rvert &= \left\lvert \tfrac{M(0)}{qa^2}\right\rvert \\ f_2 &= \tfrac{M(x_0)}{qa^2} \\ \left\lvert f_2 \right\rvert &= \left\lvert \tfrac{M(x_0)}{qa^2}\right\rvert\end{split}\]

Finden Sie \(\beta=\beta_{\mathsf{opt}}\), sodass \(M_{\mathsf{max}}\) minimal ist. Runden Sie \(\beta_{\mathsf{opt}}\) auf Rundestellenwert \(0{,}01\).

Lösung

Sowohl das Moment bei \(x=0\), wie auch das Moment bei \(x=x_0\) (also \(f_1\) und \(f_2\) hängen von \(\beta\) ab.
Für die Maximumsnorm \(M_{\mathsf{max}}\) ist die Berücksichtigung beider Momente entscheidend. Also die Berücksichtigung des Moments bei \(x=0\) und die Berücksichtigung des Moments bei \(x = x_0\).
Die Maximumsnorm wird minimal für genau ein \(\beta=\beta_{\mathsf{opt}}\).

\(M_{\mathsf{max}}\) ist minimal für \(\beta=\beta_{\mathsf{opt}}\) mit:

\[\begin{split}|M(0)|&=|M(x_0)| \\ \left|- 2 \beta_{\mathsf{opt}} \right| &= \left|\tfrac{1}{2} {\beta_{\mathsf{opt}}}^{2} - \beta_{\mathsf{opt}} + \tfrac{1}{2} \right|\end{split}\]

Der Ausdruck zwischen den Betragsstrichen auf der linken Seite ist \(<=0\) für alle \(0<\beta<1\).
Der Ausdruck zwischen den Betragsstrichen auf der rechten Seite ist \(>=0\) für alle \(0<\beta<1\).

Darum gilt weiter:

\[\begin{split}2 \beta_{\mathsf{opt}} &= \tfrac{1}{2} {\beta_{\mathsf{opt}}}^{2} - \beta_{\mathsf{opt}} + \tfrac{1}{2} \\ \dots &= \dots \\ \beta_{\mathsf{opt}} &= 3 - 2 \sqrt{2} \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx}0{,}17\end{split}\]

Für dieses \(\beta_{\mathsf{opt}}\) erhält man:

\[\begin{split}M(0) &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx}-0{,}34 qa^2 \\ M(x_0) &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx}0{,}34 qa^2\end{split}\]

und damit ist \(M_{\mathsf{max}}\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx}0{,}34 qa^2\) minimal.

1.7.I_opt

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, Eq, solve, sqrt

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

def printout(x, unit=1, prec="nil", sub_list=[]):
    x = x.subs(sub_list)
    x /= unit
    try: 
        x = x.applyfunc(simplify)
    except:
        tmp = x.simplify()
        if tmp != None:
            x = tmp
    if prec != "nil":
        x = iso_round(x, prec)
    pprint(x)
    return

def print_dict(sol, unit=1, unit_str=None, prec="nil", sub_list=[]):
    tmp = {str(k): v for k, v in sol.items()}
    tmp = sorted(tmp.items())
    for k, v in tmp:
        if unit_str:
            print("\n"+str(k) + " / " + unit_str + ":")
        else:
            print("\n"+str(k) + ":")
        v = v.subs(sub_list)
        v /= unit
        try: 
            v = v.applyfunc(simplify)
        except:
            v = v.simplify()
        if prec != "nil":
            v = iso_round(v, prec)
        pprint(v)

a, q, beta = symbols("a, q, beta")

a1 = beta*(2*a)
a2 = (1-beta)*(2*a)

R1, R2 = q*a1, q*a2

# Unknowns:
Ah, Av, Bh, Bv, Cv, MA = symbols('Ah, Av, Bh, Bv, Cv, MA')

# Equations:
eqns = [
    Eq( 0, Ah - Bh ),
    Eq( 0, Av + Bv - R1 ),
    Eq( 0, MA + half*a1*R1 - a1*Bv),
    #
    Eq( 0, Bh ),
    Eq( 0, Cv - R2 - Bv ),
    Eq( 0, half*a2*R2 - a2*Cv ),
    ]

# Solve equations:
unks = [Ah, Av, Bh, Bv, Cv, MA]
sol = solve(eqns, unks)
print_dict(sol, unit=1, unit_str=None, prec="nil", sub_list=[])

x, xi = symbols("x, xi")
Rx = q*x
Av, MA = sol[Av], sol[MA]

sub_list = [
    (x, xi*2*a),
    ]

pprint("\nQ / (qa):")
Q = Av - Rx
printout(Q, unit=q*a, prec="nil", sub_list=sub_list)

pprint("\nM / (qa²):")
M = MA + x*Av - x*Rx/2
printout(M, unit=q*a*a, prec="nil", sub_list=sub_list)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.