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1.7.L

Gegeben

Lösung auf einer Seite

Querkraft und Moment am rechten Rand

Zeigen Sie, dass Querkraft und Biegemoment bei D gleich null sind. Zeigen Sie also, dass bei D gilt:

\[\begin{split}Q_D &= 0 \\ M_D &= 0\end{split}\]

Lösung

Freischneiden zeigt was zu zeigen ist.

Kurzfassung

Am bestem am rechten Rand bei D beginnen, weil man dann keine Lagerreaktionen berechnen muss.

Bereich 3: Querkraft

Berechnen Sie die Querkraft:

• bei C

• zwischen C und D

Lösung

bei C

Integration zwischen C und D unter Verwendung von \(Q_D=0\) und \(Q' = - q\):

\[\begin{split}Q_D &= Q_C + \int_{0}^{5\,\mathrm{m}} Q_3'(\tilde x_3) \,{\mathsf d}\tilde x_3 \\ 0 &= Q_C - \underbrace{\int_{0}^{5\,\mathrm{m}} q_3(\tilde x_3) \,{\mathsf d}\tilde x_3}_{A_q}\end{split}\]

Hierbei ist \(A_q=10 \, \tfrac{\mathrm{kN}}{\mathrm{m}} \cdot 5\, \mathrm{m} = 50 \, \mathrm{kN}\) die Fläche unter der q-Linie zwischen C und D. Damit ergibt sich:

\[Q_C = 50 \, \mathrm{kN}\]

zwischen C und D

Integration zwischen C und beliebigem \(x_3\) unter Verwendung von \(Q_C=50 \, \mathrm{kN}\) und \(Q' = - q\).

\[\begin{split}Q_3 (x_3) &= Q_C + \int_{0}^{x_3} Q_3'(\tilde x_3) \,{\mathsf d}\tilde x_3 \\ &= 50 \, \mathrm{kN} - \underbrace{\int_{0}^{x_3} q_3(\tilde x_3) \,{\mathsf d}\tilde x_3}_{A_{qx}}\end{split}\]

Hierbei ist \(A_{qx} = 10 \, \tfrac{\mathrm{kN}}{\mathrm{m}} \cdot x_3\) die Fläche unter dem Graph der q-Funktion zwischen C und \(x_3\). Damit ergibt sich:

\[\begin{split}Q_3 &= 50 \, \mathrm{kN} - 10 \, \tfrac{\mathrm{kN}}{\mathrm{m}} \cdot x_3 \\ \tfrac{Q_3}{\mathrm{kN}}&= 50 - 10 \, \left[\tfrac{x_3}{\mathrm{m}}\right]\end{split}\]

wobei \(0<x_3<5\,\mathrm{m}\).

Kurz

• Die Steigung der Q-Linie ist gleich minus q, also gleich -10 kN/m.

• D.h. Q wird nach rechts kleiner um 10 kN pro Meter.

• Auf der Länge 5 m wird Q um 50 kN kleiner.

Bereich 3: Biegemoment

Berechnen Sie das Biegemoment:

• bei C

• zwischen C und D

Lösung

bei C

Integration zwischen C und D unter Verwendung von \(M_D=0\) und \(M' = Q\) und dem zuvor berechneten \(Q_3\):

\[\begin{split}M_D &= M_C + \int_{0}^{5\,\mathrm{m}} M_3'(\tilde x_3) \,{\mathsf d}\tilde x_3 \\ 0 &= M_C + \underbrace{\int_{0}^{5\,\mathrm{m}} Q_3(\tilde x_3) \,{\mathsf d}\tilde x_3}_{A_Q} \\\end{split}\]

Hierbei ist \(A_Q= \tfrac 1 2 \cdot 50 \, \mathrm{kN} \cdot 5\, \mathrm{m} = 125 \, \mathrm{kNm}\) die Fläche unter dem Graph der Q-Funktion zwischen C und D. Damit ergibt sich:

\[M_C = - 125 \, \mathrm{kNm}\]

zwischen C und D

Integration zwischen C und beliebigem \(x_3\) unter Verwendung von \(M_C=- 125 \, \mathrm{kNm}\) und \(M' = Q\).

\[\begin{split}M_3 (x_3) &= M_C + \int_{0}^{x_3} M_3'(\tilde x_3) \,{\mathsf d}\tilde x_3 \\ &= - 125 \, \mathrm{kNm} + \underbrace{\int_{0}^{x_3} Q_3(\tilde x_3) \,{\mathsf d}\tilde x_3}_{A_{Qx}} \\\end{split}\]

Hierbei ist \(A_{Qx} = 10 \, \tfrac{\mathrm{kN}}{\mathrm{m}} \cdot x_3\) die Fläche unter dem Graph der Q-Funktion zwischen C und \(x_3\). Damit ergibt sich:

\[\begin{split}M_3 &= - 125 \, \mathrm{kNm} + \mathrm{kN} \int_{0}^{x_3} \left( 50 - 10 \, \tfrac{\tilde x_3}{\mathrm{m}} \right)\,{\mathsf d}\tilde x_3 \\ &= - 125 \, \mathrm{kNm} + \mathrm{kN} \left( 50 x_3 - 5 \, \tfrac{x_3^2}{\mathrm{m}} \right) \\ \tfrac{M_3}{\mathrm{kNm}}&= - 125 + 50 \left[\tfrac{x_3}{\mathrm{m}}\right] - 5 \, \left[\tfrac{x_3}{\mathrm{m}}\right]^2\end{split}\]

Kurz

• Die Steigung der M-Linie ist gleich Q.

  • Bei D ist die Steigung also gleich null.

  • Bei C ist die Steigung gleich 50 kN = 50 kNm / m.

  • In der Mitte zwischen C und D ist Q, also auch die Steigung der M-Linie, halb so groß wie bei C.

• Der Zuwachs von M im Bereich 3 ist gleich der Fläche unter der Q-Linie, also gleich 125 kNm.

• Bei C ist M = -125 kNm.

• Zwischen C und D wird M größer bis D, wo M=0 ist.

Bereich 2: Querkraft

Berechnen Sie die Querkraft:

• bei B

• zwischen B und C

Lösung

bei B

Integration zwischen B und C:

\[\begin{split}Q_C &= Q_B + \int_{0}^{2\,\mathrm{m}} Q_2'(\tilde x_2) \,{\mathsf d}\tilde x_2 \\ 50 \, \mathrm{kN} &= Q_B - 0 \\ Q_B &= 50 \, \mathrm{kN}\end{split}\]

zwischen B und C

Integration zwischen C und beliebigem \(x_2\):

\[\begin{split}Q_2 (x_2) &= Q_B + 0 \\ &= 50 \, \mathrm{kN}\end{split}\]

Kurz

• Die Steigung der Q-Linie ist gleich minus q, also gleich null.

• D.h. Q ist in Bereich 2 konstant und gleich 50 kN.

Bereich 2: Biegemoment

Berechnen Sie das Biegemoment:

• bei B (rechts von der Einzelkraft, also im mittleren Bereich)

• zwischen B und C

Lösung

bei B

Integration zwischen B und C:

\[\begin{split}M_C &= M_B + \underbrace{\int_{0}^{2\,\mathrm{m}} Q_2(\tilde x_2) \,{\mathsf d}\tilde x_2}_{A_Q=50 \, \mathrm{kN}\cdot 2\,\mathrm{m}} \\ - 125 \, \mathrm{kNm} &= M_B + 100 \, \mathrm{kNm}\end{split}\]

Hierbei ist \(A_Q\) die Fläche unter dem Graph der Q-Funktion zwischen B und C.

\[M_B = - 225 \, \mathrm{kNm}\]

zwischen B und C

Integration zwischen B und beliebigem \(x_2\) unter Verwendung von \(M_B\):

\[\begin{split}M_2 (x_2) &= M_B + \underbrace{\int_{0}^{x_2} Q_2(\tilde x_2) \,{\mathsf d}\tilde x_2}_{A_{Qx}=50 \, \mathrm{kN}\cdot x_2} \\ &= - 225 \, \mathrm{kNm} + 50 \, \mathrm{kN}\cdot x_2 \\\end{split}\]

Kurz

• Die Steigung der M-Linie ist gleich Q, also konstant und positiv und gleich 50 kNm / m.

• Der Zuwachs von M im Bereich 2 ist gleich der Fläche unter der Q-Linie, also gleich 100 kNm.

• Bei B ist M gleich -225 kNm.

• Zwischen B und C steigt M von -225 kNm um 100 kNm auf -125 kNm.

Bereich 1: Querkraft

Berechnen Sie die Querkraft:

• bei A

• zwischen A und B (aber links von der Einzelkraft, also im linken Bereich)

Lösung

bei A

Integration zwischen A und B:

\[\begin{split}Q_B &= Q_A + \int_{0}^{3\,\mathrm{m}} Q_1'(\tilde x_1) \,{\mathsf d}\tilde x_1 \\ 50 \, \mathrm{kN} + F &= Q_A + 0 \\ Q_A &= 100 \, \mathrm{kN}\end{split}\]

zwischen A und B

Integration zwischen A und beliebigem \(x_1\):

\[\begin{split}Q_1 (x_1) &= Q_A + 0 \\ &= 100 \, \mathrm{kN}\end{split}\]

Kurz

• Die Steigung der Q-Linie ist gleich minus q, also gleich null.

• Bei B springt Q:

  • Direkt rechts von B ist Q schon ermittelt worden und gleich 50 kNm.

  • Bei B springt Q um minus F, also um - 50 kNm. D.h. bei B wird Q um 50 kNm kleiner.

  • Direkt links von B ist Q darum gleich 100 kNm.

• Und weil die Steigung der Q-Linie gleich null ist, ist Q = 100 kNm überall in Bereich 1.

Bereich 1: Biegemoment

Berechnen Sie das Biegemoment:

• bei A

• zwischen A und B

Lösung

bei A

Integration zwischen A und B:

\[\begin{split}M_B &= M_A + \underbrace{\int_{0}^{3\,\mathrm{m}} Q_1(\tilde x_1) \,{\mathsf d}\tilde x_1}_{A_Q=100 \, \mathrm{kN}\cdot 3\,\mathrm{m}} \\ - 225 \, \mathrm{kNm} &= M_A + 300 \, \mathrm{kNm}\end{split}\]

Hierbei ist \(A_Q\) die Fläche unter dem Graph der Q-Funktion zwischen B und C.

\[M_A = - 525 \, \mathrm{kNm}\]

zwischen A und B

Integration zwischen A und beliebigem \(x_1\) unter Verwendung von \(M_A\):

\[\begin{split}M_1 (x_1) &= M_A + \underbrace{\int_{0}^{x_1} Q_1(\tilde x_1) \,{\mathsf d}\tilde x_1}_{A_{Qx}=100 \, \mathrm{kN}\cdot x_1} \\ &= - 525 \, \mathrm{kNm} + 100 \, \mathrm{kN}\cdot x_1 \\\end{split}\]

Kurz

• Die Steigung der M-Linie ist gleich Q, also konstant und positiv und gleich 100 kNm / m (doppelt so groß wie in Bereich 2).

• Der Zuwachs von M im Bereich 2 ist gleich der Fläche unter der Q-Linie, also gleich 300 kNm.

• Bei A ist M gleich -525 kNm.

• Zwischen A und B steigt M von -525 kNm um 300 kNm auf -225 kNm.

Funktionsgraphen