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1.7.W

Gegeben

Symbole: \(b, q, 0 < x < \tfrac 1 2 b\).

Und davon abhängig:

\(h = \beta b\), wobei \(\beta>0\) ein Parameter ist, nämlich das Verhältnis aus Höhe und Breite.
\(z(x) = \tfrac{4 \beta}{b}x^2\): Funktion = die (undeformierte) Balkenmittellinie.

Größen:

\[\begin{split}b &= 16 \,\mathrm{m} \\ q &= 10 \,\tfrac{\mathrm{kN}}{\mathrm{m}} \\ \beta &= \tfrac14\end{split}\]

a) Ableitung von z

Zeigen Sie, dass:

\[z' = \tfrac{8 \beta}{b}x\]

Lösung

Ableitung ergibt:

\[\begin{split}z &= \tfrac{4 \beta}{b}x^2 \\ z' &= \tfrac{8 \beta}{b}x\end{split}\]

b) Lagerreaktionen

Sei:

\(R\): Die Resultierende der verteilten Kraft.
\(H\): Die nach links wirkende Kraft, die das Lager am linken Rand auf den Balken ausübt.

Berechnen Sie die Lagerreaktionen. Und zeigen Sie, dass:

\[H = \tfrac{qb}{8\beta}\]

Lösung

Lagerreaktionen:

\[\begin{split}H &= \tfrac{qb}{8\beta} \\ A_h &= \tfrac{qb}{8\beta} \\ A_v &= \tfrac12 qb\end{split}\]

Bemerkung

\(A_v\) und \(H\) streben für \(\beta\to 0\) gegen \(\infty\).

c) Schnittgrößen

Zeigen Sie, dass für Normalkraft \(N\) und Querkraft \(Q\) und Biegemoment \(M\) gilt:

\[\begin{split}N &= \tfrac{b q}{8 \beta} \sqrt{1 + {z'}^2} \\ &= \tfrac{b q}{8 \beta} \tfrac{1}{\cos \varphi} \\ Q &= 0 \\ M &= 0\end{split}\]

Verwenden Sie den Winkel \(\varphi\) zwischen \(x\)-Achse und Tangente und die Abkürzungen:

\[\begin{split}c &= \cos\varphi = \tfrac{1}{\sqrt{1 + {z'}^2}} \\ s &= \sin\varphi = \tfrac{z'}{\sqrt{1 + {z'}^2}}\end{split}\]

Lösung

Auflösen nach den Schnittgrößen führt auf die Behauptung.

d) N / H und N / R

Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}\tfrac N H &= \tfrac{1}{\cos \varphi} \\ \tfrac N R &= \tfrac{1}{4\beta}\tfrac{1}{\cos \varphi}\end{split}\]

Lösung

Zeigt man durch Einsetzen.

e) Funktionsgraphen

Für die gegebenen Größen: Zeichnen Sie die Funktionsgraphen der folgenden Funktionen über \(x\, / \, \mathrm m\) - also abhängig von der Position \(x\) in \(\mathrm{m}\) (Meter):

\(z \, / \, \mathrm{m}\): Die Balkenmittellinie in \(\mathrm{m}\) (Meter).
\(N \, / \, H\): Die Normalkraft bezogen auf die Normalkraft bei \(x=0\).
\(N \, / \, R\): Die Normalkraft bezogen auf die Resultierende der verteilten Kraft.

Lösung

Bokeh Plot

Größen:

\(\beta=\tfrac h b\): Verhältnis aus Höhe und Breite.
\(z \, / \, \mathrm{m}\): Balkenmittellinie.
\(N, H, R\): Normalkraft, Horizontalkraft und Resultierende.

Beobachtungen:

\(N\) und \(H\) wachsen mit \(\tfrac 1 \beta\) - außer am linken Rand, denn dort ist \(\tfrac N H = 1\) unabhängig von \(\beta\).
\(N \, / \, R\) ist abhängig von \(\beta\), und es gilt \(\forall x\):
\[\begin{split}\beta \to 0 \quad &\leadsto\quad \tfrac N R \to \infty\\ \beta \to \infty \quad &\leadsto \quad \tfrac N R \to 0\end{split}\]
Im Grenzfall \(\beta=0\) ist das System statisch unbestimmt.
Die \(x\)-Komponente der Normalkraft \(N_x = N \cos\varphi\) ist gleich \(H\), also unabhängig von \(x\). Man nennt sie Horizontalschub.

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, Eq, solve, sqrt, diff, atan

# Given symbols:
q, b, beta = symbols("q, b, beta")

# Given in terms of these symbols:
h = beta * b

x = symbols("x")
z = 4 * beta/b *x**2

zp = diff(z,x)
pprint("\n\nz':")
pprint(zp)

pprint("\n\nSupport reactions Ah, Av, H:")
Ah, Av, H = symbols("Ah, Av, H")

R = q*b/2
eq1 = Eq(H, Ah)
eq2 = Eq(Av, R)
eq3 = Eq(h*H, b/4*R)

sol=solve([eq1, eq2, eq3], [Ah, Av, H])
pprint(sol)
H = sol[H]

pprint("\n\nSection Loads N, Q, M:")
N, Q, M = symbols("N, Q, M")

phi = atan(zp)
Rx = q*x
c, s = cos(phi), sin(phi)

eq1 = Eq(N*c - Q*s - H, 0)
eq2 = Eq(Q*c + N*s - Rx, 0)
eq3 = Eq(Rx*x/2 - H*z - M, 0)

sol = solve([eq1, eq2, eq3], [N, Q, M])
pprint(sol)
N = sol[N]

pprint("\n\nN / H:")
pprint(N / H)

pprint("\n\nN / R:")
pprint(N / R)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.