1.8.B

Ähnliche Aufgabe

1.6.J

Gegeben

../../../_images/1.8.B.png

Symbole:

\[a, F_1, F_2\]

Berechnen Sie die Stabkraft \(S\) im oberen horizontalen Stab.

Lösung auf einer Seite

../../../_images/a.X4.png

a) Beweglich machen

Unbekannte als äußere Last am beweglichen System: Das System ist zunächst statisch bestimmt. Machen Sie das System beweglich, indem Sie den oberen Stab zerschneiden und die gesuchte Stabkraft \(S\) als Schnittkraft eintragen - und diese als äußere Last ansehen.

Lösung

../../../_images/1.8.B_1.png

b) Virtuelle Geschwindigkeiten

../../../_images/1.8.B_A.png

Sei:

  • \(\omega_1\): Virtuelle Winkelgeschwindigkeit des Körpers links.

  • \(\omega_2\): Virtuelle Winkelgeschwindigkeit des Körpers rechts.

  • \(v_1\): Virtuelle Geschwindigkeit vom Gelenk, an dem \(F_1\) wirkt.

  • \(v_2\): Virtuelle Geschwindigkeit vom Gelenk, an dem \(F_1\) wirkt.

  • \(v_3\): Virtuelle Geschwindigkeit vom Gelenk bei P.

Es ist:

\[v_3=a \, \omega_1\]

Berechnen Sie die virtuellen Geschwindigkeiten abhängig von den virtuellen Winkelgeschwindigkeiten der beiden Starrkörper:

\[\begin{split}v_1 &= \dots \omega_1 \\ v_2 &= \dots \omega_2 \\ v_3 &= \dots \omega_2\end{split}\]

Details

  • Ich brauche die virtuellen Geschwindigkeiten überall dort, wo sich das System unter äußeren Lasten bewegt.

  • Die virtuelle Leistung der inneren Kräfte ist gleich null, weil die Körper starr sind.

  • Auch die virtuelle Leistung der Lagerreaktionen (Zwangskräfte) ist gleich null.

  • Ich kann mir vorstellen, dass die linke Struktur sich dreht. Und dass sich darum die rechte Struktur auch dreht. Wenn die linke sich links herum dreht, dreht sich die rechte rechts herum. Umgekehrt: Wenn die linke sich rechts herum dreht, dreht die rechte sich links herum.

  • Diese Drehung ist die Drehung eines Starrkörpers in der Ebene. Wenn sich ein Starrkörper in der Ebene dreht, dann gibt es in jedem Moment einen Momentanpol. Und das ist der Punkt, um den der Körper in diesem Moment rotiert.

  • Der Momentanpol für die linke Struktur ist im Festlager links. Und der Momentanpol für die rechte Struktur ist im Loslager rechts.

  • Ich definiere \(\omega_1\) und \(\omega_1\) als Koordinaten, die diese Drehungen beschreiben. Und ich drücke die Geschwindigkeit bei der gesuchten Stabkraft aus abhängig von diesen beiden Koordinaten.

Lösung

../../../_images/1.8.B_3.png
\[\begin{split}v_1 &= \sqrt2 a \, \omega_1 \\ v_3 &= 2 a \, \omega_2\\ v_2 &= \sqrt2 a \, \omega_2\end{split}\]

Bemerkung

Die virtuellen Geschwindigkeiten der Teilchen stehen senkrecht auf der Geraden, die den Momentanpol mit dem jeweiligen Teilchen verbindet. Und der Betrag ist „Abstand mal Winkel“, siehe hierzu Infinitesimale Drehung.

c) Kinematik

Es gibt genau eine (virtuelle) Größe, von der die gesamte Bewegung abhängt. Denn das System hat jetzt einen Freiheitsgrad. Wählen Sie \(\omega_1\) als diese (virtuelle) Größe. Berechnen Sie davon abhängig:

\[\begin{split}\omega_2 &= \omega_2(\omega_1) \\ v_2 &= v_2(\omega_1)\end{split}\]

Lösung

Es ist:

\[v_3 = a\, \omega_1 = 2 a\, \omega_2\]

sodass die Zwangsbedingung ist:

\[\omega_1 = 2 \omega_2\]

Damit gilt:

\[\begin{split}v_2 &= \sqrt2 a \, \omega_2\\ &=\tfrac12 \sqrt2 a \, \omega_1\end{split}\]

sodass alle kinematischen Größen abhängig von \(\omega_1\) dargestellt sind:

\[\begin{split}v_3 &= a \,\omega_1 \\ v_1 &= \sqrt2 a \, \omega_1 \\ v_2 &= \tfrac12 \sqrt2 a \, \omega_1\end{split}\]

d) Virtuelle Leistung

Berechnen Sie die virtuelle (äußere) Leistung \(P\).

Lösung

../../../_images/1.8.B_2.png

Details

Virtuelle Leistungen: \(F_2, F_1\) und \(S\) erzeugen eine virtuelle durch die virtuellen Geschwindigkeiten \(v_1\) und \(v_2\).

Um die virtuelle Leistung zu berechnen, habe ich in der Skizze jeweils die Anteile der virtuellen Geschwindigkeiten in Richtung der Kräfte.

Mit \(\alpha = 45^\circ\) und der Abkürzung \(c:= \cos 45^\circ = \sin 45^\circ\) ist die virtuelle Leistung

\[\begin{split}P(\omega_1 ) &= - (F_1 + S) v_1 c - ( S + F_2) v_2 c \\ &= - (F_1 + S) \sqrt2 a \, \omega_1 c - ( S + F_2) \tfrac12 \sqrt2 a \, \omega_1 c \\ &= - \sqrt2 c a \, \omega_1 \left\{ (F_1 + S) + ( S + F_2) \tfrac12 \right\} \\ &= - \tfrac{\sqrt2}{2} c a \, \omega_1 \left( 3 S + 2 F_1 + F_2 \right)\end{split}\]

e) Prinzip

Berechnen Sie die Stabkraft aus der Forderung:

\[P = 0\]

Zeigen Sie, dass:

\[S= - \tfrac13\left( 2 F_1 + F_2 \right)\]

Lösung

\[\begin{split}0 &= - \tfrac{\sqrt2}{2} c a \, \omega_1 \left( 3 S + 2 F_1 + F_2 \right) \\ &= 3 S + 2 F_1 + F_2 \\ S&= - \tfrac13\left( 2 F_1 + F_2 \right)\end{split}\]